Les probabilités conditionnelles | Terminale

La probabilité conditionnelle

Probabilité conditionnelle

La probabilité de A sachant B, notée P_B(A) ou P(A|B), est la probabilité que l'événement A se réalise, sachant que l'événement B s'est déjà réalisé.

P_B(A) = P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

(avec P(B) ≠ 0)

EXEMPLE

On lance un dé. Sachant que le résultat est pair (B), quelle est la probabilité d'obtenir 6 (A) ?

B = (2, 4, 6), donc P(B) = 3/6 = 1/2
A ∩ B = (6), donc P(A ∩ B) = 1/6
P_B(A) = (1/6) / (1/2) = 1/6 × 2/1 = 1/3

L'arbre pondéré

L'arbre pondéré est un outil essentiel pour représenter des expériences aléatoires à plusieurs étapes avec des probabilités conditionnelles.

Règles de l'arbre

⚠️

1. Sur chaque branche : on écrit la probabilité (conditionnelle à partir de la 2e étape)

2. À chaque nœud : la somme des probabilités des branches qui en partent vaut 1

3. Probabilité d'un chemin : produit des probabilités le long du chemin

4. Probabilité d'un événement : somme des probabilités des chemins qui y conduisent

EXEMPLE

Situation : Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire une boule, on note sa couleur, on ne la remet pas, puis on tire une seconde boule.

           3/5 ──► R ──┬── 2/4 ──► R : P(RR) = 3/5 × 2/4 = 6/20
                       └── 2/4 ──► B : P(RB) = 3/5 × 2/4 = 6/20
Départ ──┤
           2/5 ──► B ──┬── 3/4 ──► R : P(BR) = 2/5 × 3/4 = 6/20
                       └── 1/4 ──► B : P(BB) = 2/5 × 1/4 = 2/20

Vérification : 6/20 + 6/20 + 6/20 + 2/20 = 20/20 = 1 ✓

La formule des probabilités totales

Partition

Les événements B₁, B₂, ..., Bₙ forment une partition de l'univers si :

Ils sont deux à deux incompatibles
Leur réunion est l'univers entier

Formule des probabilités totales : Si B₁, B₂, ..., Bₙ forment une partition de Ω, alors pour tout événement A :

P(A) = P(A ∩ B₁) + P(A ∩ B₂) + ... + P(A ∩ Bₙ)

ou encore :

P(A) = P(B₁) × P(B₁)(A) + P(B₂) × P(B₂)(A) + ... + P(Bₙ) × P(Bₙ)(A)

EXEMPLE

Situation : Une usine a 3 machines : M1 (40% de la production), M2 (35%) et M3 (25%). Les taux de défauts sont : 2% pour M1, 3% pour M2, 5% pour M3.

Quelle est la probabilité qu'une pièce soit défectueuse ?

P(D) = P(M1) × P(M1)(D) + P(M2) × P(M2)(D) + P(M3) × P(M3)(D) P(D) = 0,40 × 0,02 + 0,35 × 0,03 + 0,25 × 0,05 P(D) = 0,008 + 0,0105 + 0,0125 P(D) = 0,031 soit 3,1%

La formule de Bayes

Formule de Bayes

Cette formule permet de "remonter" l'arbre, c'est-à-dire de calculer Pₐ(Bᵢ) quand on connaît P(Bᵢ)(A).

P_A(Bᵢ) = P(Bᵢ ∩ A) / P(A) = [P(Bᵢ) × P(Bᵢ)(A)] / P(A)

EXEMPLE

Suite de l'exemple précédent : Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de M3 ?

P_D(M3) = P(M3 ∩ D) / P(D) P_D(M3) = (0,25 × 0,05) / 0,031 P_D(M3) = 0,0125 / 0,031 P_D(M3) ≈ 0,403 soit environ 40%

Alors que M3 ne produit que 25% des pièces, elle est responsable de 40% des défauts !

Indépendance de deux événements

Événements indépendants

Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'influe pas sur la probabilité de l'autre.

A et B sont indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

ou de façon équivalente :

A et B sont indépendants ⟺ P_B(A) = P(A)

EXEMPLE

On lance un dé et une pièce.

A : "obtenir 6 au dé"
B : "obtenir pile à la pièce"

Les deux lancers sont indépendants. P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 1/6 × 1/2 = 1/12

⚠️

Attention : "Indépendant" ≠ "Incompatible"

Événements incompatibles : ne peuvent pas se réaliser en même temps
Événements indépendants : la réalisation de l'un n'influence pas l'autre

Applications fréquentes

Test de dépistage

EXEMPLE

Un test de dépistage d'une maladie a les caractéristiques suivantes :

1% de la population est malade
Si malade : le test est positif dans 98% des cas (sensibilité)
Si sain : le test est positif dans 5% des cas (faux positifs)

Question : Si le test est positif, quelle est la probabilité d'être malade ?

Notons M : "être malade" et T⁺ : "test positif"

P(M) = 0,01, P(M̄) = 0,99 P_M(T⁺) = 0,98, P(M̄)(T⁺) = 0,05

Par la formule des probabilités totales : P(T⁺) = 0,01 × 0,98 + 0,99 × 0,05 = 0,0098 + 0,0495 = 0,0593

Par la formule de Bayes : P(T⁺)(M) = (0,01 × 0,98) / 0,0593 = 0,0098 / 0,0593 ≈ 0,165

Résultat contre-intuitif : même avec un test positif, la probabilité d'être malade n'est que de 16,5% !

Répétition d'épreuves indépendantes

Schéma de Bernoulli

Suite de n épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p).

La probabilité d'obtenir exactement k succès parmi n épreuves est :

P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ

où C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

EXEMPLE

On lance 5 fois une pièce équilibrée. Probabilité d'obtenir exactement 3 piles ?

n = 5, k = 3, p = 0,5

C(5,3) = 5!/(3!2!) = 10

P(X = 3) = 10 × (0,5)³ × (0,5)² = 10 × 0,125 × 0,25 = 0,3125

Tableau récapitulatif

Notion	Formule
Probabilité conditionnelle	P_B(A) = P(A∩B) / P(B)
Probabilité d'un chemin	Produit des probabilités
Probabilités totales	P(A) = Σ P(Bᵢ) × P(Bᵢ)(A)
Formule de Bayes	P_A(B) = P(B) × P_B(A) / P(A)
Indépendance	P(A∩B) = P(A) × P(B)

Exercices

Une urne contient 4 boules blanches et 6 noires. On tire deux boules sans remise. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur.
Test médical : 2% de la population a une maladie. Le test a une sensibilité de 95% et une spécificité de 90%. Calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif.
On lance 4 fois un dé. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois le chiffre 6 ?

Points clés à retenir

P_B(A) = P(A∩B) / P(B)
Arbre : produit sur un chemin, somme pour un événement
Formule des probabilités totales pour "descendre"
Formule de Bayes pour "remonter"
Indépendance : P(A∩B) = P(A) × P(B)
Schéma de Bernoulli : C(n,k) × pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ