Le calcul intégral | Terminale

Introduction : Qu'est-ce qu'une intégrale ?

Intégrale

L'intégrale d'une fonction f sur un intervalle [a ; b] représente l'aire algébrique entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b.

∫ₐᵇ f(x) dx

Se lit : "intégrale de a à b de f(x) dx"

Les primitives

Primitive

Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si F'(x) = f(x) pour tout x de I.

⚠️

Si F est une primitive de f, alors F + C (où C est une constante) est aussi une primitive de f. Il existe donc une infinité de primitives pour une même fonction.

Primitives des fonctions usuelles

Fonction f(x)	Primitive F(x)
k (constante)	kx
xⁿ (n ≠ -1)	xⁿ⁺¹/(n+1)
1/x	ln
eˣ	eˣ
cos(x)	sin(x)
sin(x)	-cos(x)
1/√x	2√x

Règles de calcul

Une primitive de kf est kF
Une primitive de f + g est F + G
Une primitive de f(ax + b) est (1/a)F(ax + b)

EXEMPLE

Primitive de f(x) = 3x² + 2eˣ - 1/x :

F(x) = 3 × x³/3 + 2eˣ - ln|x| + C F(x) = x³ + 2eˣ - ln|x| + C

EXEMPLE

Primitive de f(x) = e²ˣ⁺¹ :

F(x) = (1/2)e²ˣ⁺¹ + C

Calcul d'intégrales

Théorème fondamental

Si F est une primitive de f sur [a ; b], alors : ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a) = [F(x)]ₐᵇ

EXEMPLE

Calculer ∫₁³ 2x dx

Primitive de 2x : F(x) = x²

∫₁³ 2x dx = [x²]₁³ = 3² - 1² = 9 - 1 = 8

Propriétés des intégrales

Linéarité : ∫ₐᵇ (f + g) = ∫ₐᵇ f + ∫ₐᵇ g ∫ₐᵇ kf = k∫ₐᵇ f

Relation de Chasles : ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f

Bornes inversées : ∫ₐᵇ f = -∫ᵇₐ f

Bornes égales : ∫ₐᵃ f = 0

Intégrales et aires

Cas où f ≥ 0

⚠️

Si f(x) ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx représente l'aire sous la courbe de f.

Cas où f change de signe

⚠️

L'intégrale donne l'aire algébrique : positive au-dessus de l'axe, négative en dessous.

Pour calculer l'aire géométrique (toujours positive), il faut :

Trouver les zéros de f sur [a ; b]
Calculer séparément les intégrales sur chaque intervalle
Prendre les valeurs absolues et additionner

EXEMPLE

Aire entre la courbe de f(x) = x et l'axe des x sur [-1 ; 2]

f s'annule en x = 0

Aire = |∫₋₁⁰ x dx| + |∫₀² x dx| = |[x²/2]₋₁⁰| + |[x²/2]₀²| = |0 - 1/2| + |4/2 - 0| = 1/2 + 2 = 5/2

Aire entre deux courbes

L'aire entre les courbes de f et g sur [a ; b] (avec f ≥ g) est : Aire = ∫ₐᵇ (f(x) - g(x)) dx

Valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction f sur [a ; b] est : μ = (1/(b-a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx

EXEMPLE

Valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 3]

μ = (1/3) × ∫₀³ x² dx = (1/3) × [x³/3]₀³ = (1/3) × (27/3 - 0) = (1/3) × 9 = 3

Techniques d'intégration avancées

Intégration par parties

∫ₐᵇ u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ - ∫ₐᵇ u'(x)v(x) dx

⚠️

Mnémotechnique : "∫uv' = uv - ∫u'v"

Comment choisir u et v' ?

u : fonction qui se simplifie en dérivant (polynôme, ln)
v' : fonction qui reste simple en intégrant (eˣ, sin, cos)

EXEMPLE

Calculer ∫₀¹ x × eˣ dx

On pose : u = x → u' = 1 v' = eˣ → v = eˣ

∫₀¹ x × eˣ dx = [x × eˣ]₀¹ - ∫₀¹ 1 × eˣ dx = (1 × e¹ - 0) - [eˣ]₀¹ = e - (e - 1) = 1

Décomposition en éléments simples

Pour les fractions rationnelles, on décompose en fractions plus simples.

EXEMPLE

∫ 1/(x(x+1)) dx

Décomposition : 1/(x(x+1)) = 1/x - 1/(x+1)

∫ 1/(x(x+1)) dx = ∫ 1/x dx - ∫ 1/(x+1) dx = ln|x| - ln|x+1| + C = ln|x/(x+1)| + C

Applications physiques

Calcul de distances

Si v(t) est la vitesse, la distance parcourue entre t₁ et t₂ est :

d = ∫ₜ₁ᵗ² |v(t)| dt

Calcul de travail

Le travail d'une force F(x) sur un déplacement de a à b est :

W = ∫ₐᵇ F(x) dx

Exercices

Calcule ∫₀² (3x² - 2x + 1) dx
Calcule l'aire entre la courbe de f(x) = x² - 1 et l'axe des x sur [-1 ; 2]
Calcule la valeur moyenne de f(x) = eˣ sur [0 ; 1]
Calcule ∫₁ᵉ ln(x) dx (par parties)
Trouve une primitive de f(x) = x/(x² + 1)

Points clés à retenir

Primitive : F' = f
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) - F(a)
Aire algébrique : positive si f > 0, négative si f < 0
Aire géométrique : somme des valeurs absolues
Valeur moyenne : μ = (1/(b-a)) × ∫ₐᵇ f
Intégration par parties : ∫uv' = uv - ∫u'v