La fonction exponentielle | Terminale

Définition de la fonction exponentielle

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp ou e^x, est l'unique fonction f définie sur ℝ telle que f'(x) = f(x) et f(0) = 1.

La fonction exponentielle est définie sur ℝ par : exp(x) = eˣ où e ≈ 2,718 28...

Le nombre e

Nombre e

Le nombre e est la valeur de exp(1). C'est un nombre irrationnel. e = lim (n→+∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2,718 28...

Propriétés algébriques

⚠️

Propriétés fondamentales :

eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ

eᵃ / eᵇ = eᵃ⁻ᵇ

(eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ

e⁰ = 1

e¹ = e

e⁻ˣ = 1/eˣ

EXEMPLE

Simplifier : e³ × e⁵ = e³⁺⁵ = e⁸

Simplifier : e⁷/e² = e⁷⁻² = e⁵

Simplifier : (e²)⁴ = e²ˣ⁴ = e⁸

Signe de l'exponentielle

⚠️

Pour tout réel x : eˣ > 0

L'exponentielle est toujours strictement positive.

Étude de la fonction exponentielle

Dérivée

La dérivée de eˣ est elle-même : (eˣ)' = eˣ

Plus généralement, pour u(x) dérivable : (eᵘ)' = u' × eᵘ

EXEMPLE

Dériver f(x) = e³ˣ : f'(x) = 3 × e³ˣ = 3e³ˣ

Dériver f(x) = e^(x²) : f'(x) = 2x × e^(x²) = 2x × e^(x²)

Sens de variation

⚠️

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Si a < b, alors eᵃ < eᵇ

Limites

lim (x→-∞) eˣ = 0

lim (x→+∞) eˣ = +∞

Tableau de variation

x	-∞	→	+∞
exp'(x) = eˣ		+
exp(x)	0	↗	+∞

Courbe représentative

Points remarquables :

exp(0) = 1 : la courbe passe par (0 ; 1)
exp(1) = e ≈ 2,718 : la courbe passe par (1 ; e)
L'axe des abscisses est asymptote horizontale en -∞

Croissances comparées

⚠️

À l'infini, l'exponentielle croît plus vite que n'importe quelle puissance :

lim (x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ (pour tout n)

lim (x→+∞) xⁿ × e⁻ˣ = 0 (pour tout n)

EXEMPLE

Calculer lim (x→+∞) x³/eˣ : Par croissances comparées : limite = 0

Calculer lim (x→+∞) x² × e⁻ˣ : = lim (x→+∞) x²/eˣ = 0

Équations et inéquations

Résoudre eˣ = k

⚠️

L'équation eˣ = k a :

Une unique solution x = ln(k) si k > 0
Aucune solution si k ≤ 0

EXEMPLE

Résoudre eˣ = 5 : x = ln(5) ≈ 1,609

Résoudre eˣ = -2 : Pas de solution (eˣ est toujours positif)

Résoudre une inéquation

EXEMPLE

Résoudre eˣ > 3 : eˣ > 3 ⟺ eˣ > e^(ln3) ⟺ x > ln(3) (car exp est croissante)

Solution : x > ln(3)

Équations du type e^(f(x)) = e^(g(x))

e^(f(x)) = e^(g(x)) ⟺ f(x) = g(x)

EXEMPLE

Résoudre e^(2x+1) = e^(x-3) : 2x + 1 = x - 3 x = -4

Solution : x = -4

Primitives

Une primitive de eˣ est eˣ.

Une primitive de eᵃˣ (a ≠ 0) est (1/a) × eᵃˣ.

EXEMPLE

Primitive de e⁵ˣ : (1/5) × e⁵ˣ

Primitive de e⁻²ˣ : (-1/2) × e⁻²ˣ

Fonction x ↦ e⁻ˣ

⚠️

La fonction x ↦ e⁻ˣ est strictement décroissante sur ℝ.

lim (x→-∞) e⁻ˣ = +∞ lim (x→+∞) e⁻ˣ = 0

Cette fonction apparaît dans de nombreux modèles (décroissance radioactive, amortissement...).

Applications

Modèle de croissance exponentielle

f(t) = f₀ × eᵏᵗ

f₀ : valeur initiale
k > 0 : croissance
k < 0 : décroissance

EXEMPLE

Décroissance radioactive : N(t) = N₀ × e⁻λᵗ où λ est la constante radioactive.

Croissance bactérienne : N(t) = N₀ × eᵏᵗ

Exercices

Simplifie : e⁴ × e⁻² et (e³)²
Dérive f(x) = e^(2x-1)
Résous : e^(2x) = e⁵
Résous : eˣ ≤ 7
Calcule : lim (x→+∞) x × e⁻ˣ et lim (x→-∞) eˣ

Points clés à retenir

exp(x) = eˣ avec e ≈ 2,718
eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ, eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ, (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ
eˣ > 0 pour tout x
(eˣ)' = eˣ, (eᵘ)' = u' × eᵘ
exp strictement croissante sur ℝ
Limites : lim(-∞) = 0, lim(+∞) = +∞
Croissances comparées : eˣ/xⁿ → +∞
eˣ = k ⟺ x = ln(k) si k > 0