Les logarithmes | Terminale

Le logarithme népérien

Définition

Logarithme népérien

Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour tout réel x strictement positif, ln(x) est l'unique réel y tel que eʸ = x.

Pour tout x strictement positif : y = ln(x) ⟺ eʸ = x

Conséquences immédiates

⚠️

Relations fondamentales :

ln(eˣ) = x pour tout x réel
e^(ln(x)) = x pour tout x strictement positif
ln(1) = 0
ln(e) = 1

Ensemble de définition

La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[.

Attention : ln(x) n'existe que si x est strictement positif.

Propriétés algébriques

⚠️

Les propriétés essentielles du logarithme :

ln(a × b) = ln(a) + ln(b)

ln(a / b) = ln(a) - ln(b)

ln(aⁿ) = n × ln(a)

ln(1/a) = -ln(a)

ln(√a) = ln(a)/2

EXEMPLE

Simplifier ln(8) : ln(8) = ln(2³) = 3 × ln(2)

Simplifier ln(5/3) : ln(5/3) = ln(5) - ln(3)

Simplifier ln(√e) : ln(√e) = ln(e^(1/2)) = 1/2 × ln(e) = 1/2

Applications

EXEMPLE

Résoudre : ln(x) = 3 x = e³ ≈ 20,09

Résoudre : e^(2x) = 5 2x = ln(5) x = ln(5)/2 ≈ 0,805

Étude de la fonction ln

Sens de variation

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La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

Si a < b, alors ln(a) < ln(b)

Limites

lim (x→0⁺) ln(x) = -∞

lim (x→+∞) ln(x) = +∞

Dérivée

(ln(x))' = 1/x pour x strictement positif

Plus généralement : (ln(u))' = u'/u (si u(x) strictement positif)

EXEMPLE

Dériver f(x) = ln(3x + 1) : f'(x) = 3/(3x + 1)

Dériver f(x) = ln(x²) : f'(x) = 2x/x² = 2/x

Tableau de variation

x	0	→	+∞
ln'(x) = 1/x	∥	+
ln(x)	-∞	↗	+∞

Courbe représentative

Points remarquables :

ln(1) = 0 : la courbe passe par (1 ; 0)
ln(e) = 1 : la courbe passe par (e ; 1)
La courbe admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale

Croissances comparées

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À l'infini, le logarithme croît moins vite que n'importe quelle puissance :

lim (x→+∞) ln(x)/x = 0

lim (x→+∞) ln(x)/xⁿ = 0 (pour tout n positif)

En 0, le logarithme décroît moins vite que 1/x :

lim (x→0⁺) x × ln(x) = 0

EXEMPLE

Calculer lim (x→+∞) (ln(x))/√x : C'est une forme indéterminée ∞/∞ Par croissances comparées : limite = 0

Le logarithme décimal

Logarithme décimal

Le logarithme décimal (ou logarithme en base 10), noté log ou log₁₀, est défini par : log(x) = ln(x) / ln(10)

⚠️

Propriété caractéristique : log(10) = 1 log(10ⁿ) = n

Propriétés

Mêmes propriétés que le logarithme népérien :

log(a × b) = log(a) + log(b)
log(a / b) = log(a) - log(b)
log(aⁿ) = n × log(a)

Applications du logarithme décimal

Domaine	Application
Acoustique	Niveau sonore en décibels
Chimie	pH = -log([H⁺])
Sismologie	Échelle de Richter
Astronomie	Magnitude des étoiles

EXEMPLE

pH d'une solution : Si [H⁺] = 10⁻³ mol/L : pH = -log(10⁻³) = -(-3) = 3

Équations et inéquations

Résoudre une équation avec ln

EXEMPLE

Résoudre : ln(2x - 1) = ln(x + 3)

Condition d'existence : 2x - 1 > 0 et x + 3 > 0 Donc x > 1/2 et x > -3, soit x > 1/2

ln(2x - 1) = ln(x + 3) ⟺ 2x - 1 = x + 3 ⟺ x = 4

Vérification : 4 > 1/2 ✓ Solution : x = 4

Résoudre une inéquation avec ln

EXEMPLE

Résoudre : ln(x) ≥ 2

ln(x) ≥ 2 ⟺ ln(x) ≥ ln(e²) Comme ln est croissante : x ≥ e²

Solution : x ≥ e² (soit x ≥ 7,39...)

Résoudre une équation avec exp

EXEMPLE

Résoudre : e^(2x) - 3e^x + 2 = 0

Posons X = e^x (X > 0) X² - 3X + 2 = 0 (X - 1)(X - 2) = 0 X = 1 ou X = 2

e^x = 1 → x = 0 e^x = 2 → x = ln(2)

Solutions : x = 0 et x = ln(2)

Exercices

Simplifie : ln(e⁵), ln(1/e²), ln(√e)
Résous : ln(x) = -2
Résous : e^(3x-1) = 7
Dérive f(x) = ln(2x² + 1)
Calcule : lim (x→+∞) ln(x)/x²

Points clés à retenir

ln est la réciproque de exp : y = ln(x) ⟺ eʸ = x
ln(1) = 0, ln(e) = 1
ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), ln(aⁿ) = n×ln(a)
ln définie sur ]0 ; +∞[, strictement croissante
(ln(x))' = 1/x
Limites : lim(0⁺) = -∞, lim(+∞) = +∞
Croissances comparées : ln(x)/x → 0, x×ln(x) → 0 (en 0⁺)
log(x) = ln(x)/ln(10), log(10) = 1