Les limites de fonctions | Terminale

Qu'est-ce qu'une limite ?

Limite

La limite d'une fonction f en un point a (ou en l'infini) décrit le comportement de f(x) quand x se rapproche de a (ou devient infiniment grand).

Limites en l'infini

Limites des fonctions usuelles

⚠️

Ces limites sont à connaître par cœur !

Fonction	lim (x→+∞)	lim (x→-∞)
xⁿ (n>0)	+∞	+∞ si n pair, -∞ si n impair
1/x	0	0
1/xⁿ	0	0
√x	+∞	non définie
eˣ	+∞	0
ln(x)	+∞	non définie

Limite d'un polynôme

La limite d'un polynôme en ±∞ est la limite de son terme de plus haut degré.

EXEMPLE

lim (x→+∞) (3x³ - 2x² + x - 5) = lim (x→+∞) 3x³ = +∞

Limite d'une fonction rationnelle

La limite d'une fraction polynomiale en ±∞ est la limite du quotient des termes de plus haut degré.

EXEMPLE

lim (x→+∞) (2x² + 3x)/(5x² - 1) = lim (x→+∞) 2x²/5x² = 2/5

Limites en un point

Limite finie

Limite finie en a

lim (x→a) f(x) = L signifie que f(x) se rapproche de L quand x se rapproche de a.

Limite infinie en un point

EXEMPLE

lim (x→0⁺) 1/x = +∞ lim (x→0⁻) 1/x = -∞

La fonction 1/x admet une asymptote verticale x = 0.

Limite à droite et à gauche

Limites latérales

lim (x→a⁺) f(x) : limite quand x tend vers a par valeurs supérieures
lim (x→a⁻) f(x) : limite quand x tend vers a par valeurs inférieures

⚠️

La limite en a existe si et seulement si les limites à droite et à gauche existent et sont égales.

Opérations sur les limites

Somme

lim f	lim g	lim (f+g)
L	L'	L + L'
L	+∞	+∞
+∞	+∞	+∞
+∞	-∞	FI

Produit

lim f	lim g	lim (f×g)
L	L'	L × L'
L positif	+∞	+∞
L négatif	+∞	-∞
0	±∞	FI
+∞	+∞	+∞

Quotient

lim f	lim g	lim (f/g)
L	L' non nul	L/L'
L non nul	0	±∞
L	±∞	0
±∞	±∞	FI
0	0	FI

FI : Forme Indéterminée

Cas où les règles générales ne permettent pas de conclure directement. Il faut transformer l'expression pour lever l'indétermination.

Les formes indéterminées

⚠️

Les 7 formes indéterminées à retenir :

∞ - ∞
0 × ∞
∞/∞
0/0
1^∞
0⁰
∞⁰

Lever une indétermination

Méthode 1 : Factorisation

EXEMPLE

lim (x→+∞) (x² - x) [forme ∞ - ∞]

= lim (x→+∞) x²(1 - 1/x) = lim (x→+∞) x² × 1 = +∞

Méthode 2 : Multiplication par le conjugué

EXEMPLE

lim (x→+∞) (√(x+1) - √x) [forme ∞ - ∞]

= lim (x→+∞) [(√(x+1) - √x)(√(x+1) + √x)] / (√(x+1) + √x) = lim (x→+∞) (x+1-x) / (√(x+1) + √x) = lim (x→+∞) 1 / (√(x+1) + √x) = 0

Méthode 3 : Croissances comparées

Croissances comparées

⚠️

Règle fondamentale : en +∞, les fonctions se classent ainsi (de la plus lente à la plus rapide) :

ln(x) ≪ xᵃ (a positif) ≪ eˣ

Le symbole "≪" signifie "croît beaucoup moins vite que".

Théorèmes de croissances comparées

lim (x→+∞) ln(x)/xⁿ = 0 (pour tout n > 0)

lim (x→+∞) xⁿ/eˣ = 0 (pour tout n)

lim (x→0⁺) xⁿ ln(x) = 0 (pour tout n > 0)

EXEMPLE

lim (x→+∞) x²/eˣ = 0 (l'exponentielle "l'emporte")

lim (x→+∞) ln(x)/√x = 0 (la puissance "l'emporte")

Théorèmes de comparaison

Théorème des gendarmes (encadrement)

Si pour x assez grand : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = L alors lim f(x) = L

EXEMPLE

Montrer que lim (x→+∞) sin(x)/x = 0

On sait que -1 ≤ sin(x) ≤ 1 Donc -1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x

Or lim (-1/x) = lim (1/x) = 0

Par le théorème des gendarmes : lim sin(x)/x = 0

Théorème de comparaison pour les limites infinies

Si pour x assez grand : f(x) ≥ g(x) et lim g(x) = +∞ alors lim f(x) = +∞

Asymptotes

Asymptote horizontale

Si lim (x→±∞) f(x) = L, alors la droite y = L est asymptote horizontale à la courbe.

Asymptote verticale

Si lim (x→a) f(x) = ±∞, alors la droite x = a est asymptote verticale à la courbe.

Asymptote oblique

Si lim (x→±∞) [f(x) - (ax+b)] = 0, alors la droite y = ax+b est asymptote oblique.

Tableau récapitulatif

Situation	Technique
Polynôme en ±∞	Terme de plus haut degré
Fraction en ±∞	Quotient des termes dominants
∞ - ∞	Factoriser ou conjugué
0/0	Factoriser
∞/∞ avec exp	Croissances comparées
Encadrement	Théorème des gendarmes

Exercices

Calcule les limites suivantes :

lim (x→+∞) (2x³ - x + 5)/(x³ + 1)
lim (x→+∞) (√(x² + 1) - x)
lim (x→+∞) x² × e⁻ˣ
lim (x→0⁺) x × ln(x)
lim (x→2) (x² - 4)/(x - 2)

Points clés à retenir

Limites des fonctions usuelles à connaître par cœur
Formes indéterminées : ∞-∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0...
Croissances comparées : ln ≪ xⁿ ≪ eˣ
Théorème des gendarmes pour encadrer
Asymptotes : horizontale (y=L), verticale (x=a), oblique (y=ax+b)