Vecteurs et géométrie analytique | 1ère

Rappels sur les vecteurs

Vecteur

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (longueur). On le note avec une flèche : →AB ou →u.

Vecteur et translation

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Le vecteur →AB représente le déplacement qui fait passer du point A au point B. La translation de vecteur →u déplace tous les points dans la même direction, le même sens, de la même distance.

Égalité de vecteurs

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.

EXEMPLE

Si ABCD est un parallélogramme, alors →AB = →DC.

Coordonnées de vecteurs

Dans un repère orthonormé

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère (O, →i, →j), un vecteur →u s'écrit →u = x·→i + y·→j. On note →u(x ; y) où x et y sont les coordonnées.

Coordonnées de →AB : Si A(xₐ ; yₐ) et B(x_B ; y_B), alors : →AB (x_B - xₐ ; y_B - yₐ)

EXEMPLE

A(2 ; 3) et B(5 ; 7) →AB (5-2 ; 7-3) = →AB (3 ; 4)

Norme d'un vecteur

Norme de →u(x ; y) : ‖→u‖ = √(x² + y²)

EXEMPLE

→u(3 ; 4) ‖→u‖ = √(9 + 16) = √25 = 5

Opérations sur les vecteurs

Addition

→u(x ; y) + →v(x' ; y') = (x + x' ; y + y')

EXEMPLE

→u(2 ; 3) + →v(1 ; -2) = (3 ; 1)

Multiplication par un scalaire

k·→u(x ; y) = (kx ; ky)

EXEMPLE

3·→u(2 ; 3) = (6 ; 9)

Relation de Chasles

→AB + →BC = →AC

Colinéarité

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction (parallèles ou confondus).

Critère de colinéarité : →u(x ; y) et →v(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si : xy' - x'y = 0

EXEMPLE

→u(2 ; 3) et →v(4 ; 6) 2×6 - 3×4 = 12 - 12 = 0 Les vecteurs sont colinéaires (→v = 2→u).

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Applications :

Trois points A, B, C sont alignés ⟺ →AB et →AC colinéaires
Deux droites sont parallèles ⟺ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

Équations de droites

Vecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul parallèle à cette droite.

Équation cartésienne

Équation cartésienne d'une droite : ax + by + c = 0 (avec a et b non tous nuls)

Un vecteur directeur est →u(-b ; a)

EXEMPLE

Droite d'équation 2x + 3y - 6 = 0 Vecteur directeur : →u(-3 ; 2)

Équation réduite

Équation réduite (si b ≠ 0) : y = mx + p où m = coefficient directeur (pente) et p = ordonnée à l'origine

EXEMPLE

2x + 3y - 6 = 0 3y = -2x + 6 y = -2/3 x + 2 Pente m = -2/3, ordonnée à l'origine p = 2

Équation d'une droite passant par un point

Droite passant par A(xₐ ; yₐ) de vecteur directeur →u(a ; b) : Équation : b(x - xₐ) - a(y - yₐ) = 0

EXEMPLE

Droite passant par A(1 ; 2) de vecteur directeur →u(3 ; 4) : 4(x - 1) - 3(y - 2) = 0 4x - 4 - 3y + 6 = 0 4x - 3y + 2 = 0

Le produit scalaire

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs →u et →v est un nombre réel, noté →u · →v.

Définitions équivalentes

Définition avec l'angle : →u · →v = ‖→u‖ × ‖→v‖ × cos(θ) où θ est l'angle entre les vecteurs.

Définition avec les coordonnées : →u(x ; y) · →v(x' ; y') = xx' + yy'

EXEMPLE

→u(3 ; 4) et →v(2 ; -1) →u · →v = 3×2 + 4×(-1) = 6 - 4 = 2

Orthogonalité

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Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si : →u · →v = 0

EXEMPLE

→u(3 ; 4) et →v(4 ; -3) →u · →v = 3×4 + 4×(-3) = 12 - 12 = 0 Les vecteurs sont orthogonaux.

Propriétés du produit scalaire

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Propriétés :

→u · →v = →v · →u (symétrie)
→u · (→v + →w) = →u · →v + →u · →w (distributivité)
(k→u) · →v = k(→u · →v)
→u · →u = ‖→u‖² (norme au carré)

Application : vecteur normal

Vecteur normal

Un vecteur normal à une droite est perpendiculaire à cette droite.

Pour la droite ax + by + c = 0 :

Vecteur normal : →n(a ; b)
Vecteur directeur : →u(-b ; a)

Milieu et distance

Milieu de [AB] : Si A(xₐ ; yₐ) et B(x_B ; y_B), le milieu M a pour coordonnées : M((xₐ + x_B)/2 ; (yₐ + y_B)/2)

Distance AB : AB = √((x_B - xₐ)² + (y_B - yₐ)²)

Exercices

Calcule les coordonnées de →AB si A(1 ; 2) et B(4 ; -1).
→u(2 ; 3) et →v(6 ; k). Pour quelle valeur de k ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
Donne l'équation de la droite passant par A(2 ; 1) et de vecteur directeur →u(1 ; -2).
Calcule →u · →v avec →u(3 ; 2) et →v(-4 ; 6).
Les vecteurs →u(5 ; -2) et →v(2 ; 5) sont-ils orthogonaux ? Justifie.

Points clés à retenir

→AB = (x_B - xₐ ; y_B - yₐ)
Norme : ‖→u‖ = √(x² + y²)
Colinéarité : xy' - x'y = 0
Droite : ax + by + c = 0, vecteur directeur (-b ; a)
Produit scalaire : →u · →v = xx' + yy'
Orthogonalité : →u · →v = 0
→u · →u = ‖→u‖²