La dérivation | 1ère | Oz'Agir (77330)

Introduction : le nombre dérivé

Nombre dérivé

Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Intuitivement, c'est la "pente" de la courbe en ce point.

f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h

Interprétation graphique

⚠️

Si f'(a) > 0 : la tangente "monte", f est croissante en a
Si f'(a) < 0 : la tangente "descend", f est décroissante en a
Si f'(a) = 0 : la tangente est horizontale (extremum possible)

Équation de la tangente

L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

EXEMPLE

Soit f(x) = x². On a f'(x) = 2x. Tangente au point d'abscisse 3 :

f(3) = 9
f'(3) = 6
Équation : y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9

Dérivées des fonctions usuelles

⚠️

Ces formules sont à connaître par cœur !

Fonction f(x)	Dérivée f'(x)
k (constante)	0
x	1
x²	2x
x³	3x²
xⁿ	nxⁿ⁻¹
1/x	-1/x²
√x	1/(2√x)
eˣ	eˣ
ln(x)	1/x

Règles de dérivation

Opérations de base

(ku)' = ku' (k constante)

(u + v)' = u' + v'

(u - v)' = u' - v'

EXEMPLE

f(x) = 3x² + 5x - 2 f'(x) = 3(2x) + 5(1) - 0 = 6x + 5

Produit de fonctions

(uv)' = u'v + uv'

EXEMPLE

f(x) = x² × eˣ

u = x², donc u' = 2x
v = eˣ, donc v' = eˣ
f'(x) = 2x × eˣ + x² × eˣ = eˣ(2x + x²) = eˣ × x(2 + x)

Quotient de fonctions

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

EXEMPLE

f(x) = (x + 1)/(x - 2)

u = x + 1, donc u' = 1
v = x - 2, donc v' = 1
f'(x) = [1(x-2) - (x+1)(1)] / (x-2)²
f'(x) = (x - 2 - x - 1) / (x-2)² = -3/(x-2)²

Fonction composée

(g∘f)' = f' × (g'∘f)

ou plus simplement : [g(u)]' = u' × g'(u)

Fonction	Dérivée
(ax + b)ⁿ	na(ax + b)ⁿ⁻¹
√(ax + b)	a / (2√(ax + b))
1/(ax + b)	-a / (ax + b)²
eᵃˣ⁺ᵇ	a × eᵃˣ⁺ᵇ
ln(ax + b)	a / (ax + b)

EXEMPLE

f(x) = (2x + 3)⁴ Ici u = 2x + 3, donc u' = 2 f'(x) = 2 × 4(2x + 3)³ = 8(2x + 3)³

Étude des variations

Méthode

Calculer f'(x)
Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les valeurs critiques
Étudier le signe de f'(x) sur chaque intervalle
Dresser le tableau de variations
Calculer les extremums (valeurs de f aux points critiques)

Lien dérivée-variations

⚠️

f'(x) > 0 sur I ⟹ f croissante sur I
f'(x) < 0 sur I ⟹ f décroissante sur I
f'(x) = 0 sur I ⟹ f constante sur I

EXEMPLE

Étude de f(x) = x³ - 3x + 1

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x-1)(x+1)
f'(x) = 0 ⟺ x = -1 ou x = 1
Signe de f'(x) :
- x < -1 : f'(x) > 0 (croissante)
- -1 < x < 1 : f'(x) < 0 (décroissante)
- x > 1 : f'(x) > 0 (croissante)
Valeurs aux extremums :
- f(-1) = (-1)³ - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 (maximum local)
- f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 (minimum local)

Tableau de variations

x     | -∞      -1       1      +∞
------|---------------------------
f'(x) |    +     0   -   0   +
------|---------------------------
f(x)  |  -∞  ↗   3   ↘  -1  ↗  +∞

Extremums

Maximum local

f admet un maximum local en a si f(a) ≥ f(x) pour tout x proche de a.

Minimum local

f admet un minimum local en a si f(a) ≤ f(x) pour tout x proche de a.

⚠️

Si f'(a) = 0 et f' change de signe en a :

f' passe de + à - ⟹ maximum en a
f' passe de - à + ⟹ minimum en a

Applications

Optimisation

On utilise la dérivation pour trouver le maximum ou le minimum d'une grandeur.

EXEMPLE

Problème : On veut construire un enclos rectangulaire avec 100 m de clôture. Quelles dimensions maximisent l'aire ?

Solution :

Périmètre : 2L + 2l = 100, donc l = 50 - L
Aire : A(L) = L × (50 - L) = 50L - L²
A'(L) = 50 - 2L
A'(L) = 0 ⟺ L = 25
L = 25 m et l = 25 m (un carré !)
Aire maximale : 625 m²

Exercices

Calcule la dérivée de f(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 1
Calcule la dérivée de g(x) = (x² + 1)/(x - 1)
Étudie les variations de h(x) = x³ - 12x sur ℝ
Détermine l'équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² - 4x + 3 au point d'abscisse 1.

Points clés à retenir

f'(a) = pente de la tangente en a
Tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a)
(uv)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v - uv')/v²
f' > 0 ⟹ f croissante
f' < 0 ⟹ f décroissante
f'(a) = 0 et changement de signe ⟹ extremum