Le second degré : équations et fonctions | 1ère

Forme générale

Trinôme du second degré

Un trinôme du second degré est une expression de la forme ax² + bx + c où a, b, c sont des réels avec a ≠ 0.

EXEMPLE

2x² + 3x - 5 (a = 2, b = 3, c = -5)
x² - 4 (a = 1, b = 0, c = -4)
-x² + 6x (a = -1, b = 6, c = 0)

Résolution de ax² + bx + c = 0

Le discriminant

Discriminant

Le discriminant d'un trinôme ax² + bx + c est le nombre Δ = b² - 4ac. Il permet de déterminer le nombre de solutions de l'équation.

Discriminant : Δ = b² - 4ac

Les trois cas selon le signe de Δ

⚠️

Si Δ > 0 : L'équation a deux solutions distinctes x₁ = (-b - √Δ) / (2a) x₂ = (-b + √Δ) / (2a)

Si Δ = 0 : L'équation a une solution double x₀ = -b / (2a)

Si Δ < 0 : L'équation n'a pas de solution réelle

Exemples de résolution

EXEMPLE

Résoudre x² - 5x + 6 = 0 a = 1, b = -5, c = 6 Δ = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1

Δ > 0 → deux solutions : x₁ = (5 - 1) / 2 = 2 x₂ = (5 + 1) / 2 = 3

Solutions : x = 2 ou x = 3

EXEMPLE

Résoudre x² - 6x + 9 = 0 a = 1, b = -6, c = 9 Δ = 36 - 36 = 0

Δ = 0 → solution double : x₀ = 6 / 2 = 3

Solution : x = 3

EXEMPLE

Résoudre x² + x + 1 = 0 a = 1, b = 1, c = 1 Δ = 1 - 4 = -3

Δ < 0 → pas de solution réelle

Factorisation du trinôme

⚠️

Forme factorisée :

Si Δ > 0 : ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)
Si Δ = 0 : ax² + bx + c = a(x - x₀)²
Si Δ < 0 : pas de factorisation avec des réels

EXEMPLE

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) x² - 6x + 9 = (x - 3)²

Somme et produit des racines

Si x₁ et x₂ sont les racines de ax² + bx + c = 0 : Somme : x₁ + x₂ = -b/a Produit : x₁ × x₂ = c/a

EXEMPLE

Pour x² - 5x + 6 = 0, les racines sont 2 et 3. Somme : 2 + 3 = 5 = -(-5)/1 ✓ Produit : 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓

La fonction du second degré

Fonction polynôme de degré 2

La fonction f(x) = ax² + bx + c est une fonction polynôme de degré 2. Sa courbe représentative est une parabole.

Forme canonique

Forme canonique : f(x) = a(x - α)² + β

où α = -b/(2a) est l'abscisse du sommet et β = f(α) est l'ordonnée du sommet

EXEMPLE

f(x) = x² - 4x + 1 α = -(-4)/(2×1) = 2 β = f(2) = 4 - 8 + 1 = -3 Forme canonique : f(x) = (x - 2)² - 3

Orientation de la parabole

⚠️

Si a > 0 : La parabole est tournée vers le haut (∪)

Le sommet est un minimum

Si a < 0 : La parabole est tournée vers le bas (∩)

Le sommet est un maximum

Tableau de variation

⚠️

Si a > 0 :

x	-∞	→ α →	+∞
f(x)	+∞	↘ β ↗	+∞

Si a < 0 :

x	-∞	→ α →	+∞
f(x)	-∞	↗ β ↘	-∞

Axe de symétrie

La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation x = α = -b/(2a).

Signe du trinôme

⚠️

Règle du signe :

Si Δ < 0 : f(x) est du signe de a pour tout x

Si Δ = 0 : f(x) est du signe de a sauf en x₀ où f(x₀) = 0

Si Δ > 0 :

f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines
f(x) est du signe opposé de a entre les racines

EXEMPLE

f(x) = x² - 5x + 6 (a = 1 > 0, racines : 2 et 3)

f(x) > 0 pour x < 2 ou x > 3
f(x) < 0 pour 2 < x < 3
f(x) = 0 pour x = 2 ou x = 3

Inéquations du second degré

EXEMPLE

Résoudre x² - 5x + 6 > 0 On a vu que f(x) > 0 pour x < 2 ou x > 3. Solution : x ∈ ]-∞, 2[ ∪ ]3, +∞[

Résoudre x² - 5x + 6 ≤ 0 Solution : x ∈ [2, 3]

Méthode de résolution complète

⚠️

Étapes pour étudier f(x) = ax² + bx + c :

Identifier a, b, c
Calculer Δ = b² - 4ac
Trouver les racines (si Δ ≥ 0)
Calculer le sommet (α = -b/2a, β = f(α))
Déterminer le sens de variation (selon signe de a)
Établir le tableau de signes

Exercices

Résous : x² - 7x + 10 = 0
Résous : 2x² + 3x - 2 = 0
Factorise : x² - 9
Détermine le sommet de la parabole f(x) = x² + 4x + 1
Résous l'inéquation : x² - 4x + 3 ≤ 0
Trouve deux nombres dont la somme est 8 et le produit est 15.

Points clés à retenir

Discriminant : Δ = b² - 4ac
Δ > 0 : deux racines x₁ et x₂
Δ = 0 : une racine double x₀ = -b/(2a)
Δ < 0 : pas de racine réelle
Forme canonique : a(x - α)² + β avec α = -b/(2a)
a > 0 → parabole vers le haut (minimum)
a < 0 → parabole vers le bas (maximum)
Signe : du signe de a à l'extérieur des racines