Les suites numériques | 1ère

Qu'est-ce qu'une suite ?

Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de ℕ (ou d'une partie de ℕ) vers ℝ. Elle associe à chaque entier naturel n un nombre réel noté uₙ (lire "u indice n").

EXEMPLE

La suite (uₙ) définie par uₙ = 2n + 1 :

u₀ = 1
u₁ = 3
u₂ = 5
u₃ = 7...

Définir une suite

Par une formule explicite

On donne directement uₙ en fonction de n.

EXEMPLE

uₙ = n² - 1

u₀ = -1
u₁ = 0
u₂ = 3
u₃ = 8

Par une relation de récurrence

On donne le premier terme et une formule pour passer d'un terme au suivant.

EXEMPLE

u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ - 1

u₀ = 2
u₁ = 3(2) - 1 = 5
u₂ = 3(5) - 1 = 14
u₃ = 3(14) - 1 = 41

Sens de variation

Suite croissante

Une suite (uₙ) est croissante si pour tout n : uₙ₊₁ ≥ uₙ

Suite décroissante

Une suite (uₙ) est décroissante si pour tout n : uₙ₊₁ ≤ uₙ

Méthodes pour étudier le sens de variation

Méthode 1 : Étudier le signe de uₙ₊₁ - uₙ

Si uₙ₊₁ - uₙ > 0 pour tout n → suite croissante
Si uₙ₊₁ - uₙ < 0 pour tout n → suite décroissante

Méthode 2 : Si uₙ > 0, étudier uₙ₊₁/uₙ

Si uₙ₊₁/uₙ > 1 → suite croissante
Si uₙ₊₁/uₙ < 1 → suite décroissante

Méthode 3 : Si uₙ = f(n), étudier les variations de f

Les suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite (uₙ) est arithmétique s'il existe un réel r tel que pour tout n : uₙ₊₁ = uₙ + r

Le nombre r s'appelle la raison de la suite.

⚠️

Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Formule du terme général

uₙ = u₀ + nr

uₙ = uₚ + (n - p)r

EXEMPLE

Suite arithmétique de premier terme u₀ = 3 et de raison r = 5 :

u₀ = 3
u₁ = 8
u₂ = 13
uₙ = 3 + 5n

Pour n = 10 : u₁₀ = 3 + 50 = 53

Sens de variation

⚠️

Si r > 0 : suite croissante
Si r < 0 : suite décroissante
Si r = 0 : suite constante

Somme des termes

Sₙ = u₀ + u₁ + ... + uₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ)/2

Somme = Nombre de termes × (Premier + Dernier) / 2

EXEMPLE

Calculer 1 + 2 + 3 + ... + 100

C'est une suite arithmétique de raison 1, avec u₁ = 1 et u₁₀₀ = 100. Nombre de termes : 100

S = 100 × (1 + 100)/2 = 100 × 101/2 = 5050

Les suites géométriques

Suite géométrique

Une suite (uₙ) est géométrique s'il existe un réel q tel que pour tout n : uₙ₊₁ = uₙ × q

Le nombre q s'appelle la raison de la suite.

⚠️

Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Formule du terme général

uₙ = u₀ × qⁿ

uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ

EXEMPLE

Suite géométrique de premier terme u₀ = 2 et de raison q = 3 :

u₀ = 2
u₁ = 6
u₂ = 18
uₙ = 2 × 3ⁿ

Pour n = 5 : u₅ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486

Sens de variation (pour u₀ > 0)

Raison q	Comportement
q > 1	Suite croissante
0 < q < 1	Suite décroissante
q = 1	Suite constante
q < 0	Suite non monotone (alternée)

Somme des termes

Si q ≠ 1 : Sₙ = u₀ + u₁ + ... + uₙ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)

EXEMPLE

Calculer S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

Suite géométrique avec u₀ = 1, q = 2, n = 6 (7 termes) S = 1 × (1 - 2⁷)/(1 - 2) = (1 - 128)/(-1) = 127

Reconnaître une suite

Suite arithmétique ou géométrique ?

⚠️

Pour reconnaître le type de suite :

Calculer uₙ₊₁ - uₙ : si c'est constant → arithmétique
Calculer uₙ₊₁/uₙ : si c'est constant → géométrique

EXEMPLE

Suite : 3, 6, 12, 24, 48...

6 - 3 = 3, 12 - 6 = 6 → différences non constantes
6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2 → quotients constants

C'est une suite géométrique de raison 2.

Applications

Intérêts simples (suite arithmétique)

EXEMPLE

Capital de 1000 € à 5% d'intérêts simples par an. Chaque année, on gagne 50 € (toujours le même montant).

Année 0 : 1000 €
Année 1 : 1050 €
Année 2 : 1100 €
Année n : 1000 + 50n €

Suite arithmétique de raison 50.

Intérêts composés (suite géométrique)

EXEMPLE

Capital de 1000 € à 5% d'intérêts composés par an. Chaque année, on multiplie par 1,05.

Année 0 : 1000 €
Année 1 : 1050 €
Année 2 : 1102,50 €
Année n : 1000 × 1,05ⁿ €

Suite géométrique de raison 1,05. Après 10 ans : 1000 × 1,05¹⁰ ≈ 1629 €

Tableau récapitulatif

	Arithmétique	Géométrique
Relation	uₙ₊₁ = uₙ + r	uₙ₊₁ = uₙ × q
Terme général	uₙ = u₀ + nr	uₙ = u₀ × qⁿ
Somme	(n+1)(u₀+uₙ)/2	u₀(1-qⁿ⁺¹)/(1-q)
Croissante si	r > 0	q > 1 (et u₀ > 0)

Exercices

(uₙ) est arithmétique avec u₃ = 11 et u₇ = 23. Trouve u₀ et r.
(vₙ) est géométrique avec v₀ = 5 et q = 2. Calcule v₆ et la somme v₀ + v₁ + ... + v₆.
Un capital de 2000 € est placé à 3% d'intérêts composés. Après combien d'années dépassera-t-il 3000 € ?
La suite uₙ = 3 × 2ⁿ - 1 est-elle arithmétique ? géométrique ?

Points clés à retenir

Suite arithmétique : on ajoute r, uₙ = u₀ + nr
Suite géométrique : on multiplie par q, uₙ = u₀ × qⁿ
Différence constante → arithmétique
Quotient constant → géométrique
Intérêts simples → arithmétique
Intérêts composés → géométrique