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MathsCollège3ème

La trigonométrie dans le triangle rectangle

Maîtriser le cosinus, le sinus et la tangente pour calculer des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.

3ème
Maths
4 février 2026

Introduction

La trigonométrie permet de calculer des longueurs ou des angles dans un triangle rectangle quand on ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore.

⚠️

Pythagore permet de calculer une longueur quand on connaît les deux autres côtés. La trigonométrie permet de calculer une longueur ou un angle quand on connaît un angle et un côté.

Vocabulaire du triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu :

Côté adjacent

Côté de l'angle droit qui forme l'angle aigu étudié. Il est "à côté" de l'angle.

Côté opposé

Côté qui ne touche pas l'angle aigu étudié. Il est "en face" de l'angle.

Hypoténuse

Plus grand côté du triangle rectangle, opposé à l'angle droit. C'est toujours le même côté, quel que soit l'angle étudié.

EXEMPLE

Dans le triangle ABC rectangle en A, avec l'angle B :

  • L'hypoténuse est [BC] (face à l'angle droit)
  • Le côté adjacent à l'angle B est [AB]
  • Le côté opposé à l'angle B est [AC]

Les trois rapports trigonométriques

Le cosinus

cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse

Moyen mnémotechnique : CAH (Cosinus = Adjacent / Hypoténuse)

Le sinus

sin(angle) = côté opposé / hypoténuse

Moyen mnémotechnique : SOH (Sinus = Opposé / Hypoténuse)

La tangente

tan(angle) = côté opposé / côté adjacent

Moyen mnémotechnique : TOA (Tangente = Opposé / Adjacent)

⚠️

Mémo complet : SOH-CAH-TOA

  • Sinus = Opposé / Hypoténuse
  • Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
  • Tangente = Opposé / Adjacent

Calculer une longueur

Méthode

  1. Identifier l'angle connu et les côtés concernés
  2. Choisir le bon rapport (sin, cos ou tan)
  3. Écrire l'égalité
  4. Résoudre pour trouver la longueur inconnue

EXEMPLE

Énoncé : Dans le triangle ABC rectangle en A, on donne : angle B = 35° et BC = 8 cm. Calculer AC.

Solution :

  1. AC est le côté opposé à l'angle B BC est l'hypoténuse

  2. On utilise le sinus (opposé et hypoténuse) : sin(B) = AC / BC

  3. sin(35°) = AC / 8

  4. AC = 8 × sin(35°) AC = 8 × 0,574 AC ≈ 4,59 cm

EXEMPLE

Énoncé : Dans le triangle DEF rectangle en E, on donne : angle D = 42° et DE = 6 cm. Calculer DF.

Solution :

  1. DE est le côté adjacent à l'angle D DF est l'hypoténuse

  2. On utilise le cosinus (adjacent et hypoténuse) : cos(D) = DE / DF

  3. cos(42°) = 6 / DF

  4. DF = 6 / cos(42°) DF = 6 / 0,743 DF ≈ 8,07 cm

Calculer un angle

Méthode

  1. Calculer le rapport entre les deux côtés connus
  2. Utiliser la fonction inverse (arcsin, arccos ou arctan) sur la calculatrice
⚠️

Sur la calculatrice :

  • arcsin se note sin⁻¹ ou Asin
  • arccos se note cos⁻¹ ou Acos
  • arctan se note tan⁻¹ ou Atan

N'oublie pas de mettre ta calculatrice en mode DEGRÉ !

EXEMPLE

Énoncé : Dans le triangle ABC rectangle en A, AB = 5 cm et BC = 8 cm. Calculer l'angle B.

Solution :

  1. AB est le côté adjacent à B BC est l'hypoténuse

  2. cos(B) = AB / BC = 5 / 8 = 0,625

  3. B = arccos(0,625) B ≈ 51,3°

Tableau récapitulatif : quel rapport utiliser ?

Côtés connus/cherchésRapport à utiliser
Opposé et HypoténuseSinus
Adjacent et HypoténuseCosinus
Opposé et AdjacentTangente

Valeurs remarquables à connaître

Anglecossintan
30°√3/2 ≈ 0,871/2 = 0,5√3/3 ≈ 0,58
45°√2/2 ≈ 0,71√2/2 ≈ 0,711
60°1/2 = 0,5√3/2 ≈ 0,87√3 ≈ 1,73
⚠️

À retenir :

  • cos(60°) = sin(30°) = 0,5
  • cos(45°) = sin(45°) ≈ 0,71
  • tan(45°) = 1

Rédiger au Brevet

Pour le Brevet, ta rédaction doit être complète :

EXEMPLE

Dans le triangle ABC rectangle en A :

  • L'angle B mesure 35°
  • BC = 8 cm

Calculons AC.

Le triangle ABC est rectangle en A. AC est le côté opposé à l'angle B. BC est l'hypoténuse.

D'après la définition du sinus dans un triangle rectangle : sin(B) = AC / BC

Donc : sin(35°) = AC / 8

Donc : AC = 8 × sin(35°) AC ≈ 8 × 0,574 AC ≈ 4,59 cm

Exercices type Brevet

  1. Dans un triangle ABC rectangle en A, on donne BC = 10 cm et l'angle C = 28°. Calcule AB et AC.

  2. Dans un triangle DEF rectangle en E, on donne DE = 7 cm et EF = 4 cm. Calcule l'angle D.

  3. Une échelle de 5 m est posée contre un mur. Elle forme un angle de 70° avec le sol. À quelle hauteur atteint-elle le mur ?

Points clés à retenir

  • SOH-CAH-TOA : le mémo indispensable
  • Identifier : angle, côté adjacent, côté opposé, hypoténuse
  • Pour trouver une longueur : résoudre l'équation
  • Pour trouver un angle : utiliser arcsin, arccos ou arctan
  • Vérifier que la calculatrice est en mode DEGRÉ
  • Toujours rédiger proprement pour le Brevet
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