Les probabilités | 3ème | Oz'Agir (77330)

Qu'est-ce qu'une probabilité ?

Probabilité

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la "chance" que cet événement se produise.

⚠️

Probabilité = 0 → Événement impossible
Probabilité = 1 → Événement certain
Plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement est probable

Vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire

Expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude.

Issue (ou résultat)

Résultat possible d'une expérience aléatoire.

Univers

Ensemble de toutes les issues possibles, noté souvent Ω (oméga).

Événement

Sous-ensemble de l'univers. Un événement peut regrouper plusieurs issues.

EXEMPLE

Expérience : Lancer un dé à 6 faces

Univers : Ω =
Issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6
Événement A : "obtenir un nombre pair" =
Événement B : "obtenir 6" =

Calculer une probabilité

Situation d'équiprobabilité

Équiprobabilité

Situation où toutes les issues ont la même probabilité de se produire.

P(A) = Nombre d'issues favorables / Nombre total d'issues

EXEMPLE

On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Issues favorables : → 3 issues
Nombre total d'issues : 6

P(pair) = 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%

Propriétés fondamentales

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Pour tout événement A : 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(événement certain) = 1
P(événement impossible) = 0
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1

Événement contraire

L'événement contraire de A, noté Ā (ou "non A"), est l'événement qui se réalise quand A ne se réalise pas.

P(Ā) = 1 - P(A)

EXEMPLE

Si P(pleuvoir demain) = 0,3

Alors P(ne pas pleuvoir demain) = 1 - 0,3 = 0,7

⚠️

Cette formule est très utile ! Parfois il est plus facile de calculer le contraire.

Les arbres de probabilités

Un arbre de probabilités permet de représenter une expérience aléatoire à plusieurs étapes.

Règles de l'arbre

Règle des branches : Sur chaque branche, on écrit la probabilité
Règle des nœuds : La somme des probabilités partant d'un nœud vaut 1
Règle du chemin : On multiplie les probabilités le long d'un chemin

EXEMPLE

Expérience : On tire une boule dans une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes. On note la couleur, on remet la boule, puis on tire à nouveau.

                    3/5 → Rouge → P(R,R) = 3/5 × 3/5 = 9/25
        Rouge
       (3/5)        2/5 → Verte → P(R,V) = 3/5 × 2/5 = 6/25
      /
Départ
      \
        Verte       3/5 → Rouge → P(V,R) = 2/5 × 3/5 = 6/25
       (2/5)
                    2/5 → Verte → P(V,V) = 2/5 × 2/5 = 4/25

Vérifions : 9/25 + 6/25 + 6/25 + 4/25 = 25/25 = 1 ✓

Calculer la probabilité d'une réunion

Quand un événement peut se réaliser de plusieurs façons, on additionne les probabilités des chemins.

EXEMPLE

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge ?

P(exactement une rouge) = P(R,V) + P(V,R) = 6/25 + 6/25 = 12/25

Fréquence et probabilité

Fréquence

La fréquence d'un événement est le rapport entre le nombre de fois où il s'est produit et le nombre total d'expériences.

Fréquence = Nombre de réalisations / Nombre total d'expériences

⚠️

Loi des grands nombres : Plus on répète l'expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique.

EXEMPLE

On lance une pièce 1000 fois et on obtient 512 fois "pile".

Fréquence de "pile" = 512/1000 = 0,512 ≈ 0,5

La fréquence est proche de la probabilité théorique (0,5).

Exemples classiques

Le lancer de dé

Événement	Issues favorables	Probabilité
Obtenir 6		1/6
Obtenir pair		3/6 = 1/2
Obtenir < 4		3/6 = 1/2
Obtenir ≥ 5		2/6 = 1/3

Le tirage de cartes

Dans un jeu de 52 cartes :

4 couleurs : cœur, carreau, trèfle, pique
13 cartes par couleur

Événement	Probabilité
Tirer un as	4/52 = 1/13
Tirer un cœur	13/52 = 1/4
Tirer une figure (roi, dame, valet)	12/52 = 3/13

Exercices type Brevet

On lance un dé équilibré. Calcule P(obtenir un multiple de 3).
Une urne contient 4 boules bleues et 6 boules rouges. On tire une boule au hasard. a) Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ? b) Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule bleue ?
On lance deux fois une pièce équilibrée. a) Construis l'arbre de probabilités. b) Calcule la probabilité d'obtenir au moins un "pile".

Points clés à retenir

Probabilité = nombre entre 0 et 1
En équiprobabilité : P = cas favorables / cas possibles
P(contraire de A) = 1 - P(A)
Arbre : on multiplie le long des chemins
Pour une réunion : on additionne les probabilités des chemins
La fréquence se rapproche de la probabilité quand on répète l'expérience