PGCD et PPCM : divisibilité et fractions | 3ème

Rappels sur la divisibilité

Diviseur

Un nombre a est un diviseur de b si la division de b par a tombe juste (reste = 0). On dit aussi que b est un multiple de a.

EXEMPLE

Les diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 Les diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18 Diviseurs communs de 12 et 18 : 1, 2, 3, 6

Critères de divisibilité

Diviseur	Critère
2	Chiffre des unités pair (0, 2, 4, 6, 8)
3	Somme des chiffres divisible par 3
4	Deux derniers chiffres divisibles par 4
5	Chiffre des unités : 0 ou 5
9	Somme des chiffres divisible par 9
10	Chiffre des unités : 0

Le PGCD

PGCD

Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres entiers est le plus grand nombre qui divise les deux nombres.

EXEMPLE

Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18 Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6 PGCD(12, 18) = 6

Méthode 1 : Liste des diviseurs

⚠️

Étapes :

Lister tous les diviseurs de chaque nombre
Identifier les diviseurs communs
Prendre le plus grand

Méthode 2 : Décomposition en facteurs premiers

Pour trouver le PGCD par décomposition :

Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
Garder les facteurs communs avec leur plus petite puissance

EXEMPLE

PGCD(48, 36) : 48 = 2⁴ × 3 36 = 2² × 3²

Facteurs communs : 2 et 3 Plus petites puissances : 2² et 3¹ PGCD = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

Méthode 3 : Algorithme d'Euclide

⚠️

Algorithme d'Euclide : On effectue des divisions euclidiennes successives jusqu'à obtenir un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul.

EXEMPLE

PGCD(48, 18) par l'algorithme d'Euclide : 48 = 18 × 2 + 12 18 = 12 × 1 + 6 12 = 6 × 2 + 0

Le dernier reste non nul est 6. PGCD(48, 18) = 6

Application : Simplifier une fraction

⚠️

Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

EXEMPLE

Simplifier 48/36 : PGCD(48, 36) = 12 48/36 = (48 ÷ 12) / (36 ÷ 12) = 4/3

La fraction 4/3 est irréductible (PGCD(4,3) = 1).

Le PPCM

PPCM

Le Plus Petit Commun Multiple de deux nombres est le plus petit nombre (non nul) qui est multiple des deux nombres.

EXEMPLE

Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36... Multiples de 8 : 8, 16, 24, 32, 40... Multiples communs : 24, 48, 72... PPCM(6, 8) = 24

Méthode 1 : Liste des multiples

⚠️

Étapes :

Lister les premiers multiples de chaque nombre
Identifier le plus petit multiple commun

Méthode 2 : Décomposition en facteurs premiers

Pour trouver le PPCM par décomposition :

Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
Garder tous les facteurs avec leur plus grande puissance

EXEMPLE

PPCM(48, 36) : 48 = 2⁴ × 3 36 = 2² × 3²

Tous les facteurs : 2 et 3 Plus grandes puissances : 2⁴ et 3² PPCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

Relation entre PGCD et PPCM

Formule fondamentale : PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b

EXEMPLE

Pour 12 et 18 : PGCD(12, 18) = 6 PPCM(12, 18) = ?

6 × PPCM = 12 × 18 = 216 PPCM = 216 / 6 = 36

Application : Additionner des fractions

⚠️

Pour additionner des fractions de dénominateurs différents, on les met au même dénominateur en utilisant le PPCM.

EXEMPLE

Calculer 5/6 + 7/8 : PPCM(6, 8) = 24 5/6 = 20/24 7/8 = 21/24 5/6 + 7/8 = 20/24 + 21/24 = 41/24

Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1 (ils n'ont pas de diviseur commun autre que 1).

EXEMPLE

8 et 15 sont-ils premiers entre eux ? Diviseurs de 8 : 1, 2, 4, 8 Diviseurs de 15 : 1, 3, 5, 15 Seul diviseur commun : 1 PGCD(8, 15) = 1 Donc 8 et 15 sont premiers entre eux.

⚠️

Une fraction a/b est irréductible si et seulement si a et b sont premiers entre eux (PGCD(a,b) = 1).

Problèmes types

Problème de partage

EXEMPLE

Problème : On veut partager 48 pommes et 36 oranges en paquets identiques (avec le maximum de paquets). Combien de paquets ? Que contient chaque paquet ?

Solution : Nombre de paquets = PGCD(48, 36) = 12 paquets Pommes par paquet : 48 ÷ 12 = 4 Oranges par paquet : 36 ÷ 12 = 3 Chaque paquet contient 4 pommes et 3 oranges.

Problème de rendez-vous

EXEMPLE

Problème : Un bus passe toutes les 12 minutes, un autre toutes les 8 minutes. Ils partent ensemble à 9h. Quand se retrouveront-ils ensemble ?

Solution : PPCM(12, 8) = 24 minutes Ils se retrouveront ensemble à 9h24.

Tableau récapitulatif

	PGCD	PPCM
Définition	Plus grand diviseur commun	Plus petit multiple commun
Facteurs premiers	Communs, plus petite puissance	Tous, plus grande puissance
Application	Simplifier les fractions	Même dénominateur
Problèmes	Partage en parts égales	Périodicité, rendez-vous

Exercices

Calcule le PGCD de 84 et 56.
Calcule le PPCM de 15 et 20.
Simplifie la fraction 72/96.
24 et 35 sont-ils premiers entre eux ? Justifie.
Un jardinier a 45 roses et 75 tulipes. Il veut faire des bouquets identiques avec le maximum de bouquets. Combien de bouquets ? Combien de fleurs de chaque sorte par bouquet ?

Points clés à retenir

PGCD = Plus Grand Commun Diviseur
PPCM = Plus Petit Commun Multiple
PGCD × PPCM = a × b
Décomposition : PGCD (petites puissances) / PPCM (grandes puissances)
Algorithme d'Euclide : divisions successives jusqu'à reste = 0
Fraction irréductible si PGCD(num, dén) = 1
PGCD = problèmes de partage
PPCM = problèmes de rendez-vous/périodicité