Géométrie dans l'espace : volumes et sections | 3ème

Les solides usuels

Le prisme droit

Prisme droit

Solide dont les deux bases sont des polygones identiques parallèles, et dont les faces latérales sont des rectangles.

Volume du prisme droit : V = Aire de la base × hauteur V = A × h

EXEMPLE

Prisme à base triangulaire (triangle de base 6 cm et hauteur 4 cm), hauteur du prisme 10 cm : Aire de la base = (6 × 4) / 2 = 12 cm² V = 12 × 10 = 120 cm³

Le cylindre

Cylindre de révolution

Solide engendré par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés.

Volume du cylindre : V = π × r² × h

Aire latérale : A(latérale) = 2 × π × r × h

Aire totale : A(totale) = 2 × π × r × h + 2 × π × r²

EXEMPLE

Cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 7 cm : V = π × 3² × 7 = π × 9 × 7 = 63π ≈ 197,9 cm³

La pyramide

Pyramide

Solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun (l'apex).

Volume de la pyramide : V = (1/3) × Aire de la base × hauteur V = (1/3) × A × h

EXEMPLE

Pyramide à base carrée de côté 6 cm, hauteur 10 cm : Aire de la base = 6² = 36 cm² V = (1/3) × 36 × 10 = 120 cm³

Le cône de révolution

Cône de révolution

Solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit.

Volume du cône : V = (1/3) × π × r² × h

Aire latérale : A(latérale) = π × r × g (g = génératrice)

EXEMPLE

Cône de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm : V = (1/3) × π × 4² × 9 = (1/3) × π × 16 × 9 = 48π ≈ 150,8 cm³

La sphère

Sphère

Ensemble des points situés à une distance donnée (le rayon) d'un point fixe (le centre).

Volume de la sphère : V = (4/3) × π × r³

Aire de la sphère : A = 4 × π × r²

EXEMPLE

Sphère de rayon 6 cm : V = (4/3) × π × 6³ = (4/3) × π × 216 = 288π ≈ 904,8 cm³ A = 4 × π × 6² = 144π ≈ 452,4 cm²

Tableau récapitulatif des volumes

Solide	Volume
Prisme / Cylindre	V = Aire de base × h
Pyramide / Cône	V = (1/3) × Aire de base × h
Sphère	V = (4/3) × π × r³

⚠️

Le volume d'une pyramide (ou d'un cône) est le tiers du volume du prisme (ou cylindre) de même base et même hauteur.

Sections de solides

Section d'un cube par un plan

⚠️

La section d'un cube par un plan parallèle à une face est un carré. La section d'un cube par un plan parallèle à une arête peut être un rectangle.

Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Section parallèle

Quand on coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, on obtient une figure semblable à la base (réduction).

Section d'un cylindre

Plan de coupe	Section obtenue
Parallèle à la base	Cercle
Perpendiculaire à la base (passant par l'axe)	Rectangle

Section d'un cône

Plan de coupe	Section obtenue
Parallèle à la base	Cercle (plus petit)
Passant par le sommet	Triangle

Section d'une sphère

⚠️

La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle. Si le plan passe par le centre, c'est un grand cercle (rayon = rayon de la sphère).

Agrandissement et réduction

Coefficient d'agrandissement/réduction

Quand on multiplie toutes les dimensions d'un solide par un coefficient k :

k > 1 : agrandissement
k < 1 : réduction

Si les longueurs sont multipliées par k :

Les aires sont multipliées par k²
Les volumes sont multipliés par k³

EXEMPLE

Un cube de côté 2 cm (V = 8 cm³) est agrandi avec k = 3.

Nouveau côté : 2 × 3 = 6 cm
Nouveau volume : 8 × 3³ = 8 × 27 = 216 cm³
Ou directement : 6³ = 216 cm³

Exercices types

Calcul de volume

EXEMPLE

Problème : Un verre cylindrique de diamètre 8 cm et de hauteur 12 cm est rempli aux 3/4. Quel volume de liquide contient-il ?

Solution : Rayon = 8/2 = 4 cm Volume total = π × 4² × 12 = 192π cm³ Volume de liquide = (3/4) × 192π = 144π ≈ 452,4 cm³

Calcul d'une dimension

EXEMPLE

Problème : Une sphère a un volume de 288π cm³. Quel est son rayon ?

Solution : V = (4/3) × π × r³ = 288π r³ = 288π × (3/4π) = 216 r = ∛216 = 6 cm

Exercices

Calcule le volume d'un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 8 cm.
Calcule le volume d'une pyramide à base carrée de côté 9 cm et de hauteur 12 cm.
Une sphère a un rayon de 10 cm. Calcule son volume et son aire.
Un cône a un volume de 100π cm³ et un rayon de 5 cm. Trouve sa hauteur.
Les dimensions d'un pavé sont multipliées par 2. Par combien son volume est-il multiplié ?

Points clés à retenir

Prisme/Cylindre : V = Aire de base × h
Pyramide/Cône : V = (1/3) × Aire de base × h
Sphère : V = (4/3)πr³, A = 4πr²
Pyramide = (1/3) × Prisme de même base et hauteur
Section d'une sphère par un plan = cercle
Si k multiplie les longueurs : aires × k², volumes × k³