Les fonctions : notions de base | 3ème

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Fonction

Une fonction est une relation qui, à chaque nombre de départ (appelé antécédent), associe un unique nombre d'arrivée (appelé image).

EXEMPLE

La fonction "double" associe à chaque nombre son double :

À 3, elle associe 6
À 5, elle associe 10
À -2, elle associe -4

Vocabulaire et notations

Notation fonctionnelle

On note une fonction avec une lettre, souvent f, g ou h.

f(x) = 2x + 3

Se lit : "f de x égale 2x plus 3"

Cela signifie : pour calculer l'image d'un nombre x, on le multiplie par 2 puis on ajoute 3.

Image et antécédent

Image

L'image de x par la fonction f est le nombre f(x). C'est le résultat du calcul.

Antécédent

L'antécédent d'un nombre y par la fonction f est le nombre x tel que f(x) = y. C'est le nombre de départ.

EXEMPLE

Soit f(x) = 2x + 3

L'image de 4 par f est : f(4) = 2 × 4 + 3 = 11
4 est un antécédent de 11 par f

⚠️

Un nombre a une seule image par une fonction
Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun)

Calculer une image

Pour calculer l'image d'un nombre, on remplace x par ce nombre dans l'expression de la fonction.

EXEMPLE

Soit f(x) = 3x² - 2x + 1

Calculer f(2) : f(2) = 3 × 2² - 2 × 2 + 1 f(2) = 3 × 4 - 4 + 1 f(2) = 12 - 4 + 1 f(2) = 9

L'image de 2 par f est 9.

Calcule les images

Soit g(x) = 5x - 7

Calcule : g(0), g(3), g(-2), g(1/5)

Calculer un antécédent

Pour trouver l'antécédent d'un nombre, on résout une équation.

EXEMPLE

Soit f(x) = 2x + 3

Trouver l'antécédent de 11 par f : On cherche x tel que f(x) = 11 2x + 3 = 11 2x = 11 - 3 2x = 8 x = 4

L'antécédent de 11 par f est 4.

Représentation graphique

Le repère

Une fonction se représente dans un repère orthonormé :

L'axe horizontal est l'axe des abscisses (les x)
L'axe vertical est l'axe des ordonnées (les y ou f(x))

La courbe représentative

Courbe représentative

La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).

Un point M(a ; b) appartient à la courbe de f si et seulement si b = f(a).

Tracer une courbe (tableau de valeurs)

Choisir plusieurs valeurs de x
Calculer les images correspondantes
Placer les points dans le repère
Relier les points

EXEMPLE

Soit f(x) = x² - 2

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	2	-1	-2	-1	2

On place les points (-2 ; 2), (-1 ; -1), (0 ; -2), (1 ; -1), (2 ; 2) et on trace la courbe (une parabole).

Lire un graphique

Lire une image

Pour lire l'image de a :

Repérer a sur l'axe des abscisses
Monter (ou descendre) jusqu'à la courbe
Lire l'ordonnée du point trouvé

Lire un antécédent

Pour lire les antécédents de b :

Repérer b sur l'axe des ordonnées
Tracer la droite horizontale y = b
Trouver les intersections avec la courbe
Lire les abscisses des points trouvés

⚠️

Graphiquement, un nombre peut avoir 0, 1, 2 ou plusieurs antécédents selon le nombre d'intersections entre la droite horizontale et la courbe.

Les fonctions linéaires et affines

Fonction linéaire

f(x) = ax

Sa courbe est une droite passant par l'origine.

Fonction affine

f(x) = ax + b

a est le coefficient directeur (pente de la droite)
b est l'ordonnée à l'origine (point où la droite coupe l'axe des ordonnées)

Sa courbe est une droite.

EXEMPLE

f(x) = 2x + 3

Coefficient directeur : a = 2 (la droite "monte" de 2 quand x augmente de 1)
Ordonnée à l'origine : b = 3 (la droite passe par le point (0 ; 3))

Variations d'une fonction

Fonction croissante

Une fonction est croissante sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) augmente aussi. Graphiquement : la courbe "monte" de gauche à droite.

Fonction décroissante

Une fonction est décroissante sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) diminue. Graphiquement : la courbe "descend" de gauche à droite.

EXEMPLE

Pour f(x) = x² :

f est décroissante sur ]-∞ ; 0]
f est croissante sur [0 ; +∞[

Exercice type Brevet

Soit f la fonction définie par f(x) = -2x + 5

Calcule f(3) et f(-1)
Détermine l'antécédent de 1 par f
Cette fonction est-elle croissante ou décroissante ? Justifie.
Trace la droite représentative de f.

Points clés à retenir

Une fonction associe à chaque x une unique image f(x)
Image : on remplace x dans la formule
Antécédent : on résout une équation
La courbe de f est l'ensemble des points (x ; f(x))
Fonction affine f(x) = ax + b : droite de pente a
Croissante = monte, Décroissante = descend