Les équations du premier degré | 3ème

Qu'est-ce qu'une équation ?

Équation

Une équation est une égalité comportant une ou plusieurs inconnues (souvent notées x). Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

EXEMPLE

2x + 5 = 13 est une équation. La solution est x = 4 car 2 × 4 + 5 = 13 ✓

Vocabulaire

Terme	Définition
Inconnue	Nombre qu'on cherche (x, y...)
Membre de gauche	Expression à gauche du signe =
Membre de droite	Expression à droite du signe =
Solution	Valeur qui vérifie l'égalité

Propriétés fondamentales

⚠️

On peut effectuer la même opération des deux côtés de l'égalité :

Ajouter le même nombre aux deux membres
Soustraire le même nombre aux deux membres
Multiplier les deux membres par le même nombre (≠ 0)
Diviser les deux membres par le même nombre (≠ 0)

EXEMPLE

Si a = b, alors :

a + 3 = b + 3
a - 5 = b - 5
2a = 2b
a/4 = b/4

Méthode de résolution

Objectif : isoler x

Développer et réduire chaque membre si nécessaire
Regrouper les termes en x d'un côté
Regrouper les nombres de l'autre côté
Diviser pour trouver x
Vérifier la solution

Exemple détaillé

EXEMPLE

Résoudre : 3x + 7 = 2x + 12

Étape 1 : Regrouper les x à gauche 3x + 7 - 2x = 2x + 12 - 2x x + 7 = 12

Étape 2 : Regrouper les nombres à droite x + 7 - 7 = 12 - 7 x = 5

Vérification :

Membre de gauche : 3 × 5 + 7 = 15 + 7 = 22
Membre de droite : 2 × 5 + 12 = 10 + 12 = 22 ✓

Cas particuliers

Équation avec des parenthèses

EXEMPLE

Résoudre : 2(x + 3) = 5x - 9

Étape 1 : Développer 2x + 6 = 5x - 9

Étape 2 : Regrouper les x à gauche 2x - 5x + 6 = -9 -3x + 6 = -9

Étape 3 : Regrouper les nombres à droite -3x = -9 - 6 -3x = -15

Étape 4 : Diviser x = -15 ÷ (-3) x = 5

Équation avec des fractions

EXEMPLE

Résoudre : x/2 + 3 = 7

x/2 = 7 - 3 x/2 = 4 x = 4 × 2 x = 8

Équation sans solution

EXEMPLE

Résoudre : 2x + 1 = 2x + 5 2x - 2x = 5 - 1 0 = 4 → Impossible !

Cette équation n'a aucune solution.

Équation avec une infinité de solutions

EXEMPLE

Résoudre : 2x + 4 = 2(x + 2) 2x + 4 = 2x + 4 0 = 0 → Toujours vrai !

Cette équation a une infinité de solutions (tout nombre est solution).

Mise en équation d'un problème

⚠️

Méthode :

Lire attentivement l'énoncé
Choisir l'inconnue (ce qu'on cherche) : "Soit x le..."
Traduire le problème en équation
Résoudre l'équation
Vérifier et rédiger la réponse

Exemple de problème

EXEMPLE

Problème : Pierre a trois fois plus d'argent que Paul. Ensemble, ils ont 48 €. Combien a chacun ?

Mise en équation : Soit x la somme que possède Paul. Pierre a 3x euros. Ensemble : x + 3x = 48

Résolution : 4x = 48 x = 12

Réponse : Paul a 12 € et Pierre a 36 €.

Vérification : 12 + 36 = 48 ✓ et 36 = 3 × 12 ✓

Autre exemple

EXEMPLE

Problème : Un rectangle a un périmètre de 56 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 4 cm. Quelles sont ses dimensions ?

Mise en équation : Soit x la largeur en cm. La longueur est x + 4 cm. Périmètre = 2 × (longueur + largeur) 2(x + x + 4) = 56

Résolution : 2(2x + 4) = 56 4x + 8 = 56 4x = 48 x = 12

Réponse : La largeur est 12 cm et la longueur est 16 cm.

Les équations produit

Équation produit

Équation de la forme A × B = 0, où A et B sont des expressions.

Propriété : Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0

EXEMPLE

Résoudre : (x - 3)(x + 5) = 0

x - 3 = 0 ou x + 5 = 0 x = 3 ou x = -5

Les solutions sont x = 3 et x = -5.

Exercices

Résous : 5x - 3 = 2x + 9
Résous : 3(x - 2) = 2(x + 1)
Résous : (x - 4)(2x + 6) = 0
Problème : La somme de trois nombres consécutifs est 81. Quels sont ces nombres ?
Problème : Un rectangle a une longueur qui est le double de sa largeur. Son périmètre est de 36 cm. Trouve ses dimensions.

Points clés à retenir

Équation : égalité avec une inconnue
On peut ajouter, soustraire, multiplier, diviser les deux membres par un même nombre (≠ 0)
Objectif : isoler x
Équation produit : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0
Problème : définir x, traduire en équation, résoudre, vérifier