Les vecteurs : définition et opérations | 2nde

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Vecteur

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :

Une direction (droite support)
Un sens (orientation sur cette droite)
Une norme (longueur)

Un vecteur représente un déplacement.

Notation

Le vecteur allant de A vers B se note vecteur AB ou AB→ (lire "vecteur AB").

A est l'origine du vecteur
B est l'extrémité du vecteur

⚠️

Vecteur AB ≠ Vecteur BA ! Ces vecteurs ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés. On a : Vecteur BA = - Vecteur AB

Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Vecteur AB = Vecteur CD signifie que ABDC est un parallélogramme.

EXEMPLE

Si ABCD est un parallélogramme, alors : Vecteur AB = Vecteur DC et Vecteur AD = Vecteur BC

Le vecteur nul

Vecteur nul

Le vecteur nul, noté 0→, a une norme nulle. Vecteur AA = 0→ pour tout point A.

Somme de vecteurs

Relation de Chasles

Vecteur AB + Vecteur BC = Vecteur AC

C'est la règle fondamentale ! On "enchaîne" les vecteurs.

EXEMPLE

Pour aller de A à C, on peut passer par B : Vecteur AC = Vecteur AB + Vecteur BC

Règle du parallélogramme

Pour additionner deux vecteurs u→ et v→ de même origine :

Placer les deux vecteurs à partir du même point
Construire le parallélogramme
La diagonale issue de l'origine est la somme

Multiplication par un scalaire

Produit d'un vecteur par un réel

Si k est un réel et u→ un vecteur, alors k × u→ est un vecteur :

De même direction que u→
De même sens si k > 0, de sens contraire si k < 0
De norme |k| × ||u→||

EXEMPLE

2 × u→ : même direction, même sens, norme doublée
-u→ : même direction, sens opposé, même norme
0.5 × u→ : même direction, même sens, norme divisée par 2
-3 × u→ : même direction, sens opposé, norme triplée

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs u→ et v→ sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v→ = k × u→ (ou si u→ = 0→).

Géométriquement : ils ont la même direction.

⚠️

Applications de la colinéarité :

Trois points A, B, C sont alignés ⟺ Vecteur AB et Vecteur AC sont colinéaires
Deux droites sont parallèles ⟺ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère (O ; i→, j→), tout vecteur u→ s'écrit de manière unique :

u→ = x × i→ + y × j→

On note u→(x ; y) où x et y sont les coordonnées du vecteur.

Coordonnées à partir de deux points

Si A(xₐ ; yₐ) et B(xᵦ ; yᵦ), alors : Vecteur AB a pour coordonnées (xᵦ - xₐ ; yᵦ - yₐ)

EXEMPLE

Si A(2 ; 3) et B(5 ; 7), alors : Vecteur AB a pour coordonnées (5-2 ; 7-3) = (3 ; 4)

Opérations avec les coordonnées

Si u→(x ; y) et v→(x' ; y'), alors :

u→ + v→ = (x + x' ; y + y')

k × u→ = (kx ; ky)

EXEMPLE

Si u→(2 ; -3) et v→(-1 ; 5), alors : u→ + v→ = (2-1 ; -3+5) = (1 ; 2) 3 × u→ = (6 ; -9)

Norme d'un vecteur

||u→|| = √(x² + y²)

EXEMPLE

Si u→(3 ; 4), alors ||u→|| = √(9+16) = √25 = 5

Critère de colinéarité

u→(x ; y) et v→(x' ; y') sont colinéaires ⟺ xy' - x'y = 0

Ce nombre xy' - x'y s'appelle le déterminant des deux vecteurs.

EXEMPLE

u→(2 ; 3) et v→(4 ; 6) sont-ils colinéaires ? Déterminant = 2×6 - 3×4 = 12 - 12 = 0 Oui, ils sont colinéaires ! (On a v→ = 2 × u→)

Le milieu d'un segment

Si A(xₐ ; yₐ) et B(xᵦ ; yᵦ), le milieu I de [AB] a pour coordonnées : I((xₐ + xᵦ)/2 ; (yₐ + yᵦ)/2)

EXEMPLE

Milieu de [AB] avec A(2 ; 5) et B(6 ; 1) : I((2+6)/2 ; (5+1)/2) = I(4 ; 3)

Démontrer avec les vecteurs

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

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ABCD est un parallélogramme ⟺ Vecteur AB = Vecteur DC

Montrer que trois points sont alignés

⚠️

A, B, C alignés ⟺ Vecteur AB et Vecteur AC colinéaires ⟺ déterminant = 0

Montrer que deux droites sont parallèles

⚠️

(AB) // (CD) ⟺ Vecteur AB et Vecteur CD colinéaires

Exercices

A(1 ; 2), B(4 ; 6), C(7 ; 10). Les points A, B, C sont-ils alignés ?
u→(3 ; -2) et v→(-6 ; 4). Montre que u→ et v→ sont colinéaires.
A(2 ; 3), B(5 ; 1), C(8 ; 5), D(5 ; 7). ABCD est-il un parallélogramme ?
Calcule les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme, avec A(1 ; 2), B(4 ; 3), C(6 ; 7).

Points clés à retenir

Vecteur = direction + sens + norme
Vecteur AB + Vecteur BC = Vecteur AC (Chasles)
Colinéaires = même direction (déterminant = 0)
Vecteur AB a pour coordonnées (xᵦ - xₐ ; yᵦ - yₐ)
||u→|| = √(x² + y²)
Parallélogramme ⟺ Vecteur AB = Vecteur DC