Le théorème de Thalès | 4ème

Qui était Thalès ?

Thalès de Milet était un mathématicien grec du VIe siècle avant J.-C. La légende raconte qu'il a calculé la hauteur de la pyramide de Khéops en utilisant l'ombre projetée par le soleil !

La configuration de Thalès

Configuration de Thalès

On a une configuration de Thalès quand :

Deux droites (d₁) et (d₂) se coupent en un point A
Deux droites parallèles coupent (d₁) et (d₂)

On obtient alors deux triangles "emboîtés" : un petit et un grand.

Énoncé du théorème

⚠️

Si (BC) est parallèle à (MN), alors les rapports des longueurs correspondantes sont égaux.

AB/AM = AC/AN = BC/MN

Les longueurs sur une même droite sont proportionnelles.

Comment reconnaître la configuration ?

Il faut vérifier :

✓ Un point A (sommet commun)
✓ Deux droites qui passent par A
✓ Deux droites parallèles qui coupent les premières

EXEMPLE

Configuration classique :

        A
       /\
      /  \
     B----C     (BC) parallèle à (MN)
    /      \
   M--------N

Les triangles ABC et AMN sont en configuration de Thalès.

Utiliser le théorème de Thalès

Étape 1 : Vérifier que les droites sont parallèles

⚠️

Le théorème de Thalès ne s'applique QUE si les droites sont parallèles. C'est la condition indispensable !

Étape 2 : Identifier les points

Repère :

Le sommet A (point de départ)
Les points sur la première droite (B et M)
Les points sur la deuxième droite (C et N)

Étape 3 : Écrire les rapports

AB/AM = AC/AN = BC/MN

Étape 4 : Calculer avec un produit en croix

EXEMPLE

Données : AB = 3 cm, AM = 5 cm, AC = 4 cm, AN = ?

D'après le théorème de Thalès : AB/AM = AC/AN

3/5 = 4/AN

AN = (4 × 5) ÷ 3 = 20/3 ≈ 6,67 cm

Exemple complet

EXEMPLE

Sur la figure, (BC) // (MN). On donne : AB = 4 cm, BM = 2 cm, AC = 6 cm. Calculer AN et MN sachant que BC = 5 cm.

Solution :

On calcule AM : AM = AB + BM = 4 + 2 = 6 cm
D'après le théorème de Thalès (car (BC) // (MN)) : AB/AM = AC/AN = BC/MN
Calcul de AN : 4/6 = 6/AN AN = (6 × 6) ÷ 4 = 36/4 = 9 cm
Calcul de MN : 4/6 = 5/MN MN = (5 × 6) ÷ 4 = 30/4 = 7,5 cm

La réciproque du théorème

Réciproque

Si les rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles.

⚠️

La réciproque permet de prouver que des droites sont parallèles.

EXEMPLE

On donne : AB = 3 cm, AM = 9 cm, AC = 2 cm, AN = 6 cm. Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles ?

Vérifions les rapports :

AB/AM = 3/9 = 1/3
AC/AN = 2/6 = 1/3

Les rapports sont égaux, donc (BC) // (MN) d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Configuration "papillon"

Il existe une autre configuration où le point A est entre les parallèles :

   M---------N
      \   /
       \ /
        A
       / \
      /   \
   B-------C

Le théorème s'applique de la même façon !

Les erreurs à éviter

⚠️

Erreur 1 : Oublier de vérifier que les droites sont parallèles.

Erreur 2 : Se tromper dans l'ordre des points (respecter le sens sur chaque droite).

Erreur 3 : Confondre Thalès et Pythagore (Pythagore = triangle rectangle, Thalès = droites parallèles).

Rédiger une solution au Brevet

Pour le Brevet, il faut :

Écrire les données et faire un schéma
Citer le théorème : "D'après le théorème de Thalès..."
Vérifier la condition : "... car (BC) // (MN)..."
Écrire les rapports égaux
Calculer avec le produit en croix
Conclure avec la bonne unité

Exercice type Brevet

Sur la figure ci-dessous, les droites (DE) et (BC) sont parallèles. On donne : AD = 2,5 cm, AB = 4 cm, AE = 3 cm, BC = 6 cm.

Calculer AC.
Calculer DE.

Points clés à retenir

Le théorème de Thalès s'applique quand des droites sont parallèles
Il donne l'égalité de trois rapports
La réciproque permet de prouver un parallélisme
Attention à l'ordre des points dans les rapports
Ne pas confondre avec Pythagore !