Le Théorème de Pythagore | 4ème

Introduction

Le théorème de Pythagore est l'un des résultats les plus importants de la géométrie. Il permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres.

Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse : c'est toujours le plus grand côté du triangle.

Énoncé du théorème

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Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si ABC est rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC²

En d'autres termes, si on appelle :

a et b les deux côtés de l'angle droit (les "cathètes")
c l'hypoténuse

Alors : c² = a² + b²

Comment l'utiliser ?

Cas 1 : Calculer l'hypoténuse

On connaît les deux côtés de l'angle droit, on cherche l'hypoténuse.

EXEMPLE

Un triangle ABC est rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.

Calcul :

BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC = √25 = 5 cm

Cas 2 : Calculer un côté de l'angle droit

On connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit.

EXEMPLE

Un triangle ABC est rectangle en A avec BC = 13 cm et AB = 5 cm.

Calcul :

BC² = AB² + AC²
13² = 5² + AC²
169 = 25 + AC²
AC² = 169 - 25
AC² = 144
AC = √144 = 12 cm

La réciproque du théorème

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Si dans un triangle ABC on a BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.

Cette réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle.

EXEMPLE

Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm. Est-il rectangle ?

Vérification :

Le plus grand côté est 10 cm (potentielle hypoténuse)
10² = 100
6² + 8² = 36 + 64 = 100

Comme 10² = 6² + 8², le triangle est rectangle.

Triplets pythagoriciens célèbres

Certains triplets de nombres entiers vérifient le théorème :

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

Exercice d'application

Un triangle DEF est rectangle en D avec DE = 7 cm et EF = 25 cm.

Quel est le nom de l'hypoténuse ?
Calcule la longueur DF.

Aide : EF est le plus grand côté, c'est donc l'hypoténuse.

Points clés à retenir

Le théorème ne s'applique qu'aux triangles rectangles
L'hypoténuse est toujours le plus grand côté
N'oublie pas de prendre la racine carrée à la fin
La réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle