Les puissances | 4ème | Oz'Agir (77330)

Qu'est-ce qu'une puissance ?

Puissance

Une puissance est une écriture simplifiée d'un produit de facteurs identiques. a^n (lire "a exposant n" ou "a puissance n") signifie qu'on multiplie a par lui-même n fois.

a^n = a × a × a × ... × a (n fois)

EXEMPLE

2³ = 2 × 2 × 2 = 8
5² = 5 × 5 = 25
10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

Les puissances de 10

Les puissances de 10 sont particulièrement importantes car elles permettent d'écrire les très grands et très petits nombres.

Puissances positives

Puissance	Calcul	Résultat
10¹	10	10
10²	10 × 10	100
10³	10 × 10 × 10	1 000
10⁶		1 000 000
10⁹		1 000 000 000

⚠️

Astuce : L'exposant indique le nombre de zéros ! 10⁶ = 1 suivi de 6 zéros = 1 000 000

Puissances négatives

Exposant négatif

Un exposant négatif signifie "l'inverse". a^(-n) = 1 / a^n

Puissance	Valeur
10⁰	1
10⁻¹	0,1
10⁻²	0,01
10⁻³	0,001
10⁻⁶	0,000 001

⚠️

Astuce : L'exposant négatif indique la position après la virgule ! 10⁻³ = 0,001 (le 1 est en 3ème position après la virgule)

Les règles de calcul

Règle 1 : Produit de puissances de même base

a^m × a^n = a^(m+n)

EXEMPLE

10³ × 10⁵ = 10^(3+5) = 10⁸

2⁴ × 2³ = 2^(4+3) = 2⁷ = 128

Règle 2 : Quotient de puissances de même base

a^m ÷ a^n = a^(m-n)

EXEMPLE

10⁷ ÷ 10⁴ = 10^(7-4) = 10³ = 1000

5⁶ ÷ 5² = 5^(6-2) = 5⁴ = 625

Règle 3 : Puissance d'une puissance

(a^m)^n = a^(m×n)

EXEMPLE

(10²)³ = 10^(2×3) = 10⁶

(2³)⁴ = 2^(3×4) = 2¹² = 4096

Règle 4 : Puissance d'un produit

(a × b)^n = a^n × b^n

EXEMPLE

(2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000

Cas particuliers à connaître

⚠️

a⁰ = 1 (quel que soit a ≠ 0)
a¹ = a
1^n = 1 (quel que soit n)

L'écriture scientifique

Écriture scientifique

Un nombre est en écriture scientifique quand il s'écrit sous la forme : a × 10^n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif

EXEMPLE

45 000 = 4,5 × 10⁴
0,0032 = 3,2 × 10⁻³
6 789 000 = 6,789 × 10⁶
0,000 045 = 4,5 × 10⁻⁵

Comment convertir en écriture scientifique ?

Pour les grands nombres :

Place la virgule après le premier chiffre non nul
Compte de combien de rangs tu as déplacé la virgule
Ce nombre devient l'exposant positif

EXEMPLE

376 000 → 3,76 (virgule déplacée de 5 rangs vers la gauche) = 3,76 × 10⁵

Pour les petits nombres :

Place la virgule après le premier chiffre non nul
Compte de combien de rangs tu as déplacé la virgule
Ce nombre devient l'exposant négatif

EXEMPLE

0,000 82 → 8,2 (virgule déplacée de 4 rangs vers la droite) = 8,2 × 10⁻⁴

Calculs avec l'écriture scientifique

EXEMPLE

Calculer (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵)

= (3 × 2) × (10⁴ × 10⁵) = 6 × 10⁹

EXEMPLE

Calculer (8 × 10⁷) ÷ (4 × 10³)

= (8 ÷ 4) × (10⁷ ÷ 10³) = 2 × 10⁴

Applications : les ordres de grandeur

L'écriture scientifique permet de comparer facilement des grandeurs très différentes.

Grandeur	Ordre de grandeur
Diamètre d'un atome	10⁻¹⁰ m
Épaisseur d'un cheveu	10⁻⁵ m
Distance Terre-Lune	3,8 × 10⁸ m
Distance Terre-Soleil	1,5 × 10¹¹ m

Exercices

Calcule : 2⁵ × 2³
Calcule : 10⁷ ÷ 10⁻²
Écris en écriture scientifique : 0,000 045
Écris en écriture scientifique : 78 500 000
Calcule et donne le résultat en écriture scientifique : (4 × 10⁵) × (3 × 10⁻²)

Points clés à retenir

a^n = a multiplié n fois par lui-même
10^n = 1 suivi de n zéros
10^(-n) = 0, puis le 1 en n-ième position
a^m × a^n = a^(m+n)
a^m ÷ a^n = a^(m-n)
(a^m)^n = a^(m×n)
Écriture scientifique : a × 10^n avec 1 ≤ a < 10