Les fonctions de référence | 2nde

Les trois fonctions de référence

En Seconde, tu dois connaître parfaitement trois fonctions fondamentales qui serviront de base à toutes les études de fonctions.

La fonction carrée

Fonction carrée

La fonction carrée est définie sur ℝ par f(x) = x². Elle associe à chaque nombre son carré.

Tableau de valeurs

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
x²	9	4	1	0	1	4	9

Propriétés

Ensemble de définition : ℝ (tous les réels)
Parité : fonction paire car f(-x) = f(x)
Signe : x² ≥ 0 pour tout x (toujours positif ou nul)

Variations

⚠️

La fonction carrée est :

Décroissante sur ]-∞ ; 0]
Croissante sur [0 ; +∞[

Le minimum est atteint en x = 0, avec f(0) = 0.

Courbe représentative

La courbe de la fonction carrée est une parabole :

Sommet en (0 ; 0)
Axe de symétrie : l'axe des ordonnées (x = 0)
Ouverte vers le haut

La fonction inverse

Fonction inverse

La fonction inverse est définie sur ℝ* (ℝ privé de 0) par f(x) = 1/x. Elle associe à chaque nombre non nul son inverse.

Tableau de valeurs

x	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
1/x	-0.25	-0.5	-1	-2	2	1	0.5	0.25

Propriétés

Ensemble de définition : ℝ* = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
Parité : fonction impaire car f(-x) = -f(x)
Signe : même signe que x

⚠️

On ne peut pas calculer 1/0 ! La fonction inverse n'est pas définie en 0.

Variations

⚠️

La fonction inverse est strictement décroissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition :

Décroissante sur ]-∞ ; 0[
Décroissante sur ]0 ; +∞[

Attention : on ne peut pas dire qu'elle est décroissante sur ℝ* car cet ensemble n'est pas un intervalle !

Courbe représentative

La courbe de la fonction inverse est une hyperbole :

Centre de symétrie : l'origine O(0 ; 0)
Asymptotes : les axes (la courbe s'en approche sans jamais les toucher)

Asymptote

Droite dont la courbe se rapproche indéfiniment sans jamais l'atteindre.

Quand x → 0, f(x) → ±∞ (asymptote verticale x = 0)
Quand x → ±∞, f(x) → 0 (asymptote horizontale y = 0)

La fonction racine carrée

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = √x. Elle associe à chaque nombre positif sa racine carrée.

Tableau de valeurs

x	0	1	4	9	16	25
√x	0	1	2	3	4	5

Propriétés

Ensemble de définition : [0 ; +∞[ (nombres positifs ou nuls uniquement)
Signe : √x ≥ 0 pour tout x ≥ 0

⚠️

On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif (dans ℝ) ! √x n'existe que si x ≥ 0.

Variations

⚠️

La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

Courbe représentative

Part de l'origine (0 ; 0)
Croissante mais de plus en plus "aplatie"
Ressemble à une demi-parabole couchée

Propriétés calculatoires

√(a × b) = √a × √b (si a ≥ 0 et b ≥ 0)

√(a/b) = √a / √b (si a ≥ 0 et b > 0)

(√a)² = a (si a ≥ 0)

√(a²) = |a| (valeur absolue !)

EXEMPLE

√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6
√(25/4) = √25 / √4 = 5/2
(√7)² = 7
√((-3)²) = √9 = 3 = |-3|

Résoudre des équations et inéquations

Avec la fonction carrée

x² = a (avec a > 0) ⟺ x = √a ou x = -√a

x² < a (avec a > 0) ⟺ -√a < x < √a

x² > a (avec a > 0) ⟺ x < -√a ou x > √a

EXEMPLE

Résoudre x² = 9 : x = 3 ou x = -3

Résoudre x² < 4 : -2 < x < 2, soit x ∈ ]-2 ; 2[

Avec la fonction inverse

Pour comparer 1/a et 1/b, il faut faire attention aux signes !

⚠️

Si a et b sont de même signe : a < b ⟺ 1/a > 1/b (l'ordre est inversé)

Si a et b sont de signes contraires : Le négatif est toujours plus petit.

Tableau récapitulatif

Fonction	Définition	Ensemble	Variations
Carrée	f(x) = x²	ℝ	↘ sur ]-∞;0], ↗ sur [0;+∞[
Inverse	f(x) = 1/x	ℝ*	↘ sur ]-∞;0[, ↘ sur ]0;+∞[
Racine	f(x) = √x	[0;+∞[	↗ sur [0;+∞[

Exercices

Résous dans ℝ : x² = 16, puis x² < 9
Compare sans calculatrice : 1/3 et 1/5 ; -1/2 et -1/4
Simplifie : √50, √(12/3), √((x+1)²)
Détermine l'ensemble de définition de f(x) = 1/(x-2) et g(x) = √(3-x)

Points clés à retenir

Carrée : parabole, min en 0, décroissante puis croissante
Inverse : hyperbole, définie sur ℝ*, décroissante sur chaque intervalle
Racine : définie sur [0;+∞[, croissante
x² = a ⟹ x = ±√a
√(a²) = |a| (valeur absolue !)
Comparer des inverses inverse l'ordre (si même signe)