Calcul littéral : développer et factoriser | 4ème

Expressions littérales

Expression littérale

Une expression littérale est une expression mathématique contenant des lettres (appelées variables) qui représentent des nombres.

EXEMPLE

3x + 5 est une expression littérale
2a² - 4ab + b est une expression littérale

Conventions d'écriture

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Simplifications d'écriture :

1 × x = x (on n'écrit pas le 1)
a × b = ab (on ne met pas le signe ×)
2 × x = 2x (le nombre avant la lettre)
x × x = x² (puissance)

Réduire une expression

Réduire

Réduire une expression, c'est regrouper les termes semblables pour obtenir une expression plus simple.

⚠️

Termes semblables : termes qui ont la même partie littérale.

3x et 5x sont semblables (on peut les additionner)
3x et 5x² ne sont pas semblables
3x et 5y ne sont pas semblables

EXEMPLE

Réduire : 5x + 3 - 2x + 7 = 5x - 2x + 3 + 7 = 3x + 10

Réduire : 3x² + 2x - x² + 5x = 3x² - x² + 2x + 5x = 2x² + 7x

Développer

Développer un produit, c'est le transformer en somme (ou différence) en utilisant la distributivité.

Simple distributivité

k(a + b) = ka + kb k(a - b) = ka - kb

EXEMPLE

Développer : 3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12

Développer : -2(3x - 5) = -2 × 3x + (-2) × (-5) = -6x + 10

Double distributivité

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

EXEMPLE

Développer : (x + 3)(x + 5) = x × x + x × 5 + 3 × x + 3 × 5 = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15

Développer : (2x - 1)(x + 4) = 2x × x + 2x × 4 + (-1) × x + (-1) × 4 = 2x² + 8x - x - 4 = 2x² + 7x - 4

Factoriser

Factoriser une expression, c'est la transformer en produit. C'est l'opération inverse du développement.

Factoriser par un facteur commun

ka + kb = k(a + b)

⚠️

Méthode :

Identifier le facteur commun à tous les termes
Le mettre devant une parenthèse
Écrire ce qui reste dans la parenthèse

EXEMPLE

Factoriser : 6x + 9

Facteur commun : 3
6x = 3 × 2x et 9 = 3 × 3 = 3(2x + 3)

Factoriser : 4x² - 10x

Facteur commun : 2x
4x² = 2x × 2x et 10x = 2x × 5 = 2x(2x - 5)

Factoriser avec un facteur commun composé

EXEMPLE

Factoriser : (x + 1)(x + 3) + (x + 1)(2x - 5)

Facteur commun : (x + 1) = (x + 1)[(x + 3) + (2x - 5)] = (x + 1)(3x - 2)

Identités remarquables

⚠️

Les trois identités remarquables à connaître par cœur :

(a + b)² = a² + 2ab + b² (carré d'une somme)

(a - b)² = a² - 2ab + b² (carré d'une différence)

(a + b)(a - b) = a² - b² (produit somme-différence)

Développer avec les identités remarquables

EXEMPLE

Développer : (x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25

Développer : (3x - 2)² = (3x)² - 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² - 12x + 4

Développer : (x + 4)(x - 4) = x² - 4² = x² - 16

Factoriser avec les identités remarquables

EXEMPLE

Factoriser : x² + 6x + 9 On reconnaît a² + 2ab + b² avec a = x et b = 3 = (x + 3)²

Factoriser : 4x² - 25 On reconnaît a² - b² avec a = 2x et b = 5 = (2x + 5)(2x - 5)

Tableau récapitulatif

Opération	Transformation	Exemple
Réduire	Regrouper les termes semblables	3x + 2x = 5x
Développer	Produit → Somme	2(x + 3) = 2x + 6
Factoriser	Somme → Produit	2x + 6 = 2(x + 3)

Exercices

Réduire :

4x + 7 - 2x + 3
5x² - 3x + 2x² + x

Développer : 3. 5(2x - 3)

(x + 2)(x + 7)
(x - 4)²

Factoriser : 6. 12x - 8

x² - 9
x² + 8x + 16

Points clés à retenir

Réduire : regrouper les termes semblables
Développer : transformer un produit en somme (distributivité)
Factoriser : transformer une somme en produit (facteur commun)
Simple distributivité : k(a + b) = ka + kb
Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Identités : (a + b)² = a² + 2ab + b²
Identités : (a - b)² = a² - 2ab + b²
Identités : (a + b)(a - b) = a² - b²